数学建模实习报告

据题意有：

由假设②，对于单个种群的增长，有：

当竞争种群存在时，模型为：

以上为这两种群的lotka-volterra竞争模型。

且已知： =0.05， =0.08；，由假设⑤有：；

由此可得模型为：

其为一个二维的自治系统，相空间应该是二维的平面n=(b,f)，针对实际问题的要求，应该在这个平面的第一象限s=中讨论系统的动态。

将模型记为：，其中：

5 结果分析与讨论：

1）取：则程序运行后的平衡点有：

图一鲸鱼竞争种群动态的向量场。

从图一可以看出，两个生物种群将呈现的动态结果是蓝鲸将会灭绝，长须鲸将会稳定于它的饱和状态。由上面的图像可以看出不是每个平衡点都是稳定的，只有到达点（5490，39 9893）才能达到最终平衡，此时蓝鲸数量约为5490，长须鲸数量约为399 893。

当蓝鲸为5 000，长须鲸为70 000时，从上图我们可以看出在一段时间内，蓝鲸和长须鲸的数量都会增长。当蓝鲸的最小有效种群为10 000时，程序运行后有：

平衡点为（下面的数据为略去了小数的数据）：

图二鲸鱼竞争种群动态的向量场。

从图二可以看出当蓝鲸的最小有效种群为10000时，蓝鲸的竞争数量会增加，最终导致在两个生物种群最终呈现的动态结果的平衡状态的数量中，蓝鲸的竞争结果将会比最小值为3000时的数量更多一些，长须鲸的数量略微减小。

6 程序：syms x1 x2

alpha=1*10^(-7);

f1=0.05*x1*(1-x1/150000)*(x1-3000)/3000 - alpha*x1*x2;

f2=0.08*x2*(1-x2/400000)*(x2-15000)/15000 - alpha*x1*x2;

x1steady,x2steady]=solve(f1,f2);

disp('平衡点为：')

disp([x1steady x2steady])

m=10;

x1min=0; x1max=300000;

x2min=0; x2max=600000;

x1,x2]=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/m:x1max,x2min:(x2max-x2min)/m:x2max);

dx1=0.05*x1.*(1-x1/150000)*(x1-3000)/3000 - alpha*x1.*x2;

dx2=0.08*x2.*(1-x2/400000)*(x2-15000)/15000 - alpha*x1.*x2; %

quiver(x1,x2,dx1,dx2,'pm');

axis([x1min x1max x2min x2max]);

title('direction field (the vectors may be rescaled!)'

hold on

ezplot(f1,[0 300000 0 600000]),hold on

ezplot(f2,[0 300000 0 600000])

xlabel('蓝鲸');ylabel('长须鲸');