牧羊人的希望。
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摘要。本题要求以固定的资源经过合理分配获得最大利润。在本问题中，我们的目标是合理分配所拥有的牧场及草料养羊，合理分配养羊羔、母羊的数目和比例及草料存储使牧羊人在今后n年中获得的总利润最大。
而获得的利润受到养羊的成本、卖羊羔和母羊的数量、市场供求关系等因素的影响。
经初步分析：如果每年都获得当年的最大利润，则总利润一定达到最大化。现在考虑养殖达到的稳定状态即草料、场地等正好得到充分利用，则每年获得利润一定达到最大，也是养殖追求最大利润的最理想状态。
而合理的配置所拥有的资源，可以提高牧场的产量，增加经济效益；保持年龄结构的稳定，则可以保持整个羊群数量的稳定。建立模型求解稳定状态的母羊、羊羔数目及比例和夏季的储草情况。
关键词：数量、饲料、因素、利润。
问题重述。一个牧羊人拥有 x平方米的牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收益。他需要考虑以下问题：
(a) 他应该饲养多少羊？
(b) 夏季应存储多少干草用着冬季饲料？
(c) 为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？
可以利用下面的资料：
下面是黑麦草的近似平均生长率：
一般母羊的生育期是5～8年，每年产一头、两头或三头。如果每只母羊仅喂养5年就**，下面一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：
在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为：
假设。1.仅考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍、配合饲料、给水、饲养费用等其他养殖条件忽略不计。
2．设全部用于养殖的土地均为生长着多年生黑麦草的低洼地，牧场规模保持不变，不考虑天气等偶然因素对黑麦草生长的影响，且牧场对草的**是持续可靠的，而不考虑种植问题。经查资料得知相邻两株黑麦草的种植间距为15-25cm之间，这里就考虑每平方米种植36株黑麦草。
3．除去冬季外均进行野外放牧，因天气不能野外放牧忽略不计，而冬季食用其他季节存储的干草作饲料。牧羊人预先储备了适量干草qkg，当春天的鲜草不够时，可以使用上一年剩余的干草。
4.鲜草与干草均具有相同的喂养效果。经查资料，得知鲜草向干草的转化率为45%。
5.母羊仅在春天繁殖，且一年仅繁殖一次。
6.羊的售出仅在春季繁殖过后进行（即繁殖后立即决定售出情况，这样可保证羊的总数不变，且处理仍在春季），其他季节不售出。
7.假设稳定态的羊共n只，则春季考虑n只全为母羊的食草量，相邻两代的羊数量在繁殖售出前后的数量变化是连续的，即繁殖售出后i代羊数量为繁殖前i+1代的羊数量（因稳定状态要保持羊数目及比例不变，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均食草量，由假设6有：母羊繁殖后就处理母羊或小羊，因此这样假设就保证了春季草量的充足且由假设可知这样的假设和实际食草量可认为近似吻合）。
8.母羊所产羊羔的性别比，从概率角度一般认定为1：1，根据假设9，公羊羔全部被卖出。
9.该牧民尽量避免近亲繁殖，且只饲养母羊和母羊羔。
10.羊的繁殖率按上述**中的平均繁殖率，食草量及草的生长率亦按**给出的平均率计算（由假设4的鲜草向干草的转化折扣以及夏季将有三分之二的鲜草剩余，经计算知仅将夏季的剩余鲜草晒制为干草是不够的，所以秋季的剩余草也要进行干化。这也说明了从春季开始饲养的合理性）。
11.羊市场稳定，且只关心羊的数量及年代，而不关心它们的重量，每只羊羔**p元和每只母羊的**q元都稳定，经查资料知p:q近似为1:
3，这里认为比例就为1:3，假定羊的**仅有这两种。
12．羊的成长无恙，即不考虑死亡等偶然因素。
13.0-1年的羊为羊羔，1-2,2-3,3-4,4-5年的羊分别为第一，二，三，四代母羊。
14.第一年只购买第一，第二，第三，***母羊，并且当年春季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，买的母羊繁殖出的羊羔还要售出一部分，所以羊羔就可不用考虑购买，这样不仅省了一部分资金买母羊繁殖，还省了买的羊羔白吃的草料）。
15.***母羊在春季繁殖后直接就全部售出（因每只母羊仅喂养5年就**，繁殖后就售出，这样就节省了***母羊从繁殖后到第二年春季的草料）。
符号说明。s1：春季鲜草产量，s2：
夏季鲜草产量，s3：秋季鲜草产量，t1：春季所需草料，t2：
夏季所需草料，t3：秋季所需草料，t4：冬季所需草料，w1：
夏季剩余鲜草量，w2：秋季剩余鲜草量 ，p：每只羊羔的**，q：
每只母羊的**，q：牧羊人初始准备的干草量，n：牧羊人计划的年数，x：
牧场面积，k：鲜草向干草的转化率。
模型建立。设开始牧羊人购买第一代、第二代、第三代、***母羊的数量分别为a1、a2、a3、a4头，为保证羊群的相对稳定，则春季售羊后相应的羊羔、第一代、第二代、第三代数量分别为a1、a2、a3、a4头，且有a1>=a2>=a3>=a4>=0，于是同年春季羊繁殖前及售后有以下关系：
每年售出羊羔： 1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a1=0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4
（注：公羊羔全售出，保留a1头母羊羔）
第一代售出数量：a1-a2
第二代售出数量：a2-a3
第三代售出数量：a3-a4
***售出数量：a4
故售出母羊数为：a4
养羊数量：n=a1+a2+a3+a4
目标函数：收益y=n[(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a1q]
且满足：q+s1-t1>=0（春季可供使用的鲜草应满足食用量）
w1=s2-t2>=0（夏季剩余鲜草量）
w2=s3-t3>=0（秋季剩余鲜草量）
k(w1+w2)-t4>=0（储备干草量应满足冬季食用量）
p:q=1:3
0.9a1+1.2a2+a3+0.9a4>=a1（出生羊羔数要保证可留下a1只母羊羔）
a1>=a2>=a3>=a4>=0
其中：s1=36*3x*0.001=0.108x kg
t1=2.4（a1+a2+a3+a4） kg
s2=7*36x*0.001=0.252x kg
t2=[1.65a1+1.15(a2+a3+a4)] kg
s3=4*36x*0.001=0.144x kg
t3=1.35(a2+a3+a4) kg
t4=2.1(a2+a3+a4) kg
a1>=a2>=a3>=a4>=0，且均取整数。
鲜草向干草的转化率k=0.45
化简整理得：
n年总收益：y=n[(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a1q]
制约条件为：
q+s1-t1=0.2862x-3.1425a1-5.625a2+a3+a4)>=0
w1=0.252x-1.65a1-1.15(a2+a3+a4)>=0
w2=0.144x-1.35(a2+a3+a4)>=0
0.1782x-0.7425a1-3.225(a2+a3+a4)>=0
0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4<=0
a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整数。
各个量含义及其性质如上所述。
由此得到基本模型：
max=n[(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a1q1
0.108x+q-2.4(a1+a2+a3+a4)>=02)
0.144x-1.35(a2+a3+a4)>=03)
12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=04)
0.1782x-0.7425a1-3.225(a2+a3+a4)>=05)
0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4-a0<=06)
a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整数7)
模型求解。软件实现：不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元。
用lingo软件求解，在其窗口中打开一个新文件，直接输入：
求解得到如下图：
最优解为a1=1443,a2=120,a3=a4=0,最优值max=11547490
即问题中牧羊人应该饲养1563只羊；
计算得知，夏季应储存w1=1.05kg的干草；
为了繁殖，每年保留母羊的比例为7.677%（根据我们的模型求解，应为第一代母羊），模型优缺分析及推广方向。
根据模型假设及参量的设置，得知牧羊人一开始要存储的干草量为q=575.5725kg，设置预备存储，是为了使养殖规模达到相对最大化，避免夏季和秋季存储的干草，在冬季被大量剩余、而造成牧场每年的草料大量浪费，从而达到更高的经济效益。而从现实意义来说，预备存储也是合情合理的。
由于假设羊羔的**和母羊的**差不多，而母羊一年中的食草量为羊羔的2.64倍，为了达到最大经济效益，应该全养羊羔，但是考虑到繁殖率和取整的条件限制，我们预想应该养一小部分母羊，再者，由于第。
三、四代羊按假设知其繁殖率和羊羔差不多，但食草量却大得多，所以应尽量少养，最好不养，这正好和计算得到的结果相吻合。至于现实中养殖中存在第。
三、四代羊现象，是因为第。
三、四代中也有些繁殖率较高的，考虑到繁殖率，保留下来了。从算法及结果，我们**：p与q的比例k影响羊羔和母羊的比例(p与q比例：
0-1)，但波动性较小，母羊和羊羔的比例随k增先减后增，最终收敛于1:1。这也正与实际情况相符合。
目标函数可知：年数不影响养羊的分配情况；由算法知：牧场的规模也与养羊的分配无关(仅使max增大对应倍数而不影响a1、a2、a3、a4的取值）。
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