2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛c题解答。
问题1：如图1，设p的坐标为 (x, y)， x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为。
只需考虑的情形（不妨假设）。对上述二元费用函数求偏导，令。
结合图1，将（＊）式改写为，易知：
所以，故经过和的直线方程分别为：
联立①、②解方程组得交点。
因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以应满足：
且。a）当时，此时交点在轴上，将代入①式，可得，即交点与点重合（如图2）。
b) 当时，交点在梯形内（如图1）。，因为 ，所以模型简化为：
c) 当时，此时交点在轴上，即无共用管线的情形（如图3）。
对于共用管道费用与非共用管道费用相同的情形，只需在上式中令。
问题2：对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：
a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。附加费用采用了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如表1所示。
表1 三家工程咨询公司估计的附加费用。
为合理估计附加费用，我们采用对三家公司进行加权求和的方法进行估计。权重的估计采用层次分析法确定。
由于公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。不同资质的公司信誉会不同，如甲级注册资本不少于600万元人民币；乙级注册资本不少于300万元人民币。则这三家公司的权重会不同，根据经验可设甲级资质公司的重要程度为乙级资质公司重要程度的2倍，而两家乙级资质公司重要程度相同。
则构成的成对比较矩阵为：
该矩阵最大特征值为，为一致矩阵，其一致性指标ci=0。则该矩阵任意列向量都可以作为最大特征值对应的特征向量，将任意列向量归一化后作为权重。
因此权重向量为。附加费用估计为：
万元)。用matlab求最大特征值、权向量和附加费用值，程序如下：
a=[1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1];
v,d]=eig(a);
p,k]=max(eig(a));
v=v(:,k);
w=v/sum(v);
ci=(p-3)/2;
ri=0.58;
cr=ci/ri;
cr,p,wcr =
p = w =
a=[21,24,20];
w0=a*ww0 =
(b) 假设管线布置在城乡结合处的点为q，q到铁路线的距离为z（参见图4）。
图4模型一：一般情况下，连接炼油厂a和点q到铁路线的输油管最优布置应取上述问题1(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型一为。
其中t表示城乡建设费用的比值（）。
求导，令，得驻点。
当时，取得最小值。
或对模型用matlab软件进行数值求解。程序如下：
g=inline('0.5*(5+z+3^0.5*15)+(21.5+7.2)/7.2*(5^2+(8-z)^2)^0.5','z');
z,g]=fminbnd(g,0,15);
x=0.5*(15-3^0.5*(z-5));
y=0.5*(5+z-15/(3^0.5));
f=7.2*g;
x,y,z,f
x =5.4494
y =1.8538
z =7.3678
f =282.6973
结果为。用lingo程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
t=(7.2+21.5)/7.2;
u=0.5*(a+z+3^0.5*c);
v=t*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2);
g=u+v;
min=g;
x=0.5*(c-(z-a)*3^0.5);
y=0.5*(a+z-c/(3^0.5));
f=7.2*g;
end运行结果：
z 7.3678290.000000 x 5.4494000.000000
y 1.8537880.1692933e-07
f 282.69730.000000
模型二：如图4，设p点坐标为(x, y)，q点坐标为 (z, 0)，t表示城乡建设费用的比值，因此管道总费用最省的数学模型二为。
其中。用lingo程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
t=28.7/7.2;
f1=@sqrt(x^2+(a-y)^2);
f2=@sqrt((c-x)^2+(z-y)^2);
f3=y;f4=t*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2);
f=f1+f2+f3+f4;
m=7.2*f;
min=m;
end运行结果：
x 5.4494000.1246698e-08
y 1.8537880.1116410e-08
z 7.3678290.1861630e-08
f 39.263520.000000
m 282.6973
两种极端情形：当权重取为1:1:
1时，p点坐标为(5.4462,1.8556)，q点坐标为 (15.
0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。
当权重取为1:0:0时，p点坐标为(5.
4593,1.8481)，q点坐标为 (15.0000, 7.
3564)，最小费用为280.1771万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。
问题3： 考虑各部分管道费率不等的情况。
分别用记ap、pq、ph、bq段管道的费率，并设p和q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图5)，则总费用的表达式为。其中。图5
用lingo程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
k1=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5;
f1=k1*@sqrt(x^2+(a-y)^2);
f2=k2*@sqrt((c-x)^2+(z-y)^2);
f3=k3*y;
f4=k4*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2);
f=f1+f2+f3+f4;
min=f;
end运行结果：
x 6.7337840.000000
y 0.13889900.000000
z 7.2795030.000000
f 251.96850.000000
两种极端情形：当权重取为1:1:
1时，p点坐标为(6.7310,0.1409)，q点坐标为 (15.
0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。
当权重取为1:0:0时，p点坐标为(6.
7424,0.1327)，q点坐标为 (15.0000, 7.
2659)，最小费用为249.4422万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。
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