2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目。
请先阅读“全国大学生数学建模竞赛**格式规范”）
c题输油管的布置。
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中a厂位于郊区（图中的i区域），b厂位于城区（图中的ii区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送a厂成品油的每千米5.
6万元，输送b厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
1. 如图1，设p的坐标为(x, y) (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为。
图1这里先考虑的情形。对（1）求最小值可得（假设）
a) 当时，，
b) 当时，，；
c) 当时，，。
对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需令k = 1。
2. 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：
a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。（注意：
公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等。）
b) 假设管线布置在城乡结合处的点为q，q到铁路线的距离为z（参见图2）。
图2一般情况下，连接炼油厂a和点q到铁路线的输油管最优布置应取上述1.(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型成为。
其中t表示城乡建设费用的比值。
当时，取得最小值。
两种极端情形：当权重取为1:1:
1时，p点坐标为(5.4462,1.8556)，q点坐标为 (15.
0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。
当权重取为1:0:0时，p点坐标为(5.
4593,1.8481)，q点坐标为 (15.0000, 7.
3564)，最小费用为280.1771万元。
3. 考虑各部分管道费率不等的情况。
分别用记ap、pq、ph、bq段管道的费率，并设p和q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图3所示)，则总费用的表达式为。
图3两种极端情形：当权重取为1:1:
1时，p点坐标为(6.7310,0.1409)，q点坐标为 (15.
0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。
当权重取为1:0:0时，p点坐标为(6.
7424,0.1327)，q点坐标为 (15.0000, 7.
2659)，最小费用为249.4422万元。
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