题目c:有杆抽油系统的数学建模及诊断。
摘要： 2关键词： 3
引言 31.问题一的分析和求解 4
1.1问题一陈述 4
1.2问题分析与解决 6
2.问题二：泵功图计算 9
3．问题三第一问陈述 17
3.1模型一 17
3.2 模型二 19
4.问题四第二问分析 20
参考文献 21
问题三中第一问，模型一参考[3]（略）。泵的工作的过程是由三个基本环节组成的，即活塞在泵内让出容积，**进泵和从泵内排出**。在理想的情况下，活塞上，下一次进入和排出液体体积都等于活塞体积v，据此，我们建立模型二，并解出每日的排油量（参考[1]）。
问题四第二问，通过解问题二中的波动方程得到的解，运用数学方法来处理逼近真实的c.
有杆抽油系统是开采**广泛使用的方法，电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动，带动设置在杆下端的泵的两个阀相继开闭，从而将地下上千米深处蕴藏的石油抽到地面上来。钢制抽油杆有很多节连接而成，具有相同直径的归为一级，级数从上到下进行编号，可多达5级，从上端点到下端点可能长达上千米。描述抽油杆中的任意水平截面处的基本信息的通用方法是示功图。
抽油杆上端点称为悬点，在一个冲程期间，仪器以一定的时间仅间隔测得悬点处的一系列位移数据和荷载数据，据此建立悬点示功图。泵是由柱塞、游动阀、固定阀、部分油管等几个部件构成的抽象概念，泵中柱塞处的示功图称为泵功图，因为受到诸多因素的影响，在同一时刻，悬点处受的力与柱塞处受的力是不同的，同样的，在同一时刻，悬点处的相对位移与柱塞处的相对位移也不一样概念，因此，悬点示功图与泵功图是不同的示功图包含了很多信息，其中就有有效冲程，泵的有效冲程是指泵中柱塞在一个运动周期内真正实现从出油口排油的那段冲程。工程上一般根据示功图的形状与理论示功图进行对比来判断抽油机的工作状态。
通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况，如产量、气体影响、阀门漏夜、堵沙等等。要精确诊断油井的工作状况，最好采用泵功图。然而，泵在地下深处，使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。
因此，通过数学建模，把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图并最终确定泵功图，以准确诊断该井的工作状况，是一个很有价值的实际问题。近年来，功图量油技术在我国油田得到了快速发展，特别是在西部油田得到了大规模的推广应用，并取得了较好的应用效果。由于示功图炼油技术可以实现24小时的连续监测计产，因此对于产量波动较大的油井，共图计产更具有明显的优越性。
为此，本文以悬点示功图为基础，建立了基于井下多相流动的油井产量和有效率的泵功图模型。
光杆悬点运动规律：
电机旋转运动通过四连杆机构变为抽油杆的垂直运动，假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动，悬点e下只挂光杆（光杆下不接其它杆，不抽油，通常用来调试设备）。请按附录4给出四连杆各段尺寸，利用附件1的参数，求出悬点e点的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。
并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。
悬点e的运动过程：t=0时刻，曲柄滑块d位于上顶点（）,ab平行于水平面，e对应坐标原点（称为e的下死点），e的位移为0；d运动到下顶点（）时，e的的位移达到最大（称为e的上死点）；d接着运动到上顶点（）时，e又回到0的位置，完成一个周期（即一个冲程）。前臂ao=4315mm,后臂bo=2495mm,连杆bd=3675mm,曲柄半径o’d=r=950mm
a，b点做的都是部分圆弧运动，a点从水平位置向上运动的轨迹是部分圆弧，b点从水平位置向下运动的轨迹也是一圆弧，且a，b两点绕同一点o+运动，所成圆心角相同，以o’点为原点建立直角坐标系，如图所示：
b点坐标为(,d点坐标为(,r=d表示曲柄的半径，l=bd表示连杆的长度，a=ao表示前臂长，b=bo表示后臂长。经分析有如下公式。
化简得。其中 .
其中；e点的位移：
图0是用matlab软件计算的e点的实际位移曲线和附件1的理论位移曲线的比较：
图0e点的速度函数： v= （结果见附表1的程序结果x4）
e点的加速度函数：a= (结果见附表1的程序结果x5)
补充：e点的位移函数可以近似为：
y=2.4sin
井下泵示功图转化是功图计产的基础。井下泵示功图转化技术是以实测的悬点示功图为基础，即根据测得的悬点处运动的规律去计算每级抽油杆顶部及抽油泵柱塞上的载荷和位移，并绘出相应的井下示功图，然后根据地面及井下示功图分析抽油系统的工况。
2023年由gibbs给出了早期的悬点示功图转化为井下示功图的模型。现在我们根据gibbs模型，用带粘滞阻尼的波动方程作为描述油杆动态的基本的微分方程(2.1)来研究井下泵功图的转化。
下面是完成整个冲程时的模型：
这里是粘滞阻尼系数，
为抽油杆柱断面不同时间的位移
应力传播速度
时间 深度
已知由变量分离的方法可得波动方程的特解：
这里分别是关于和函数。
对(2.2)微分，并代入(2.1)得：
由于上式每一边仅包含独立的变量，因此。
这里是一个常数。
分离上述偏微分方程产生两个常微分方程。
特征方程(2.3)解满足方程(2.1)得：
为任意常数。
将（2.5）代入（2.3）得：
k=1,2…….2.6)
解此常微分方程得：
k=1,2………2.7)
其中：, d=
则有： u(x,t)=(x)(t)
u(x,t2.71）
u(x,0)==
x,0)=+
在fourier级数讨论中我们知道，如果f(x)是一个确定在区间（-l,l）上的连续可微函数，则可以展开为fourier级数。
其中： xdx, k=0,1…….2.9)
xdxk=0,1…….2.10)
如果f(x)是奇函数则由于(2.8)中的被积函数是奇函数，所以。
0（k=0,1,2…..
f(x)可以按正弦函数展开：
f(x2.11)
= xdx=, k=1,2…..2.12)
如果f(x)是偶函数，则由于(2.10)中的被积函数是奇函数，所以：
可以按余弦函数展开为：
f(x2.13)
xdx=,k=0,1,2…. 2.14)
所以和到区间（-l,0）上，只要它们可微就可以按公式(2.11)， 2.12)展成正弦级数。
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