企业退休职工养老金制度的改革。
摘要。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。未来中国经济的发展和社会平均工资快速增长后也将趋于平稳。
我们通过建立模型得到未来社会平均工资的**值，参考附件1，从而得到2023年至2023年山东省的职工的年平均工资。
取附件2中企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比作为缴费指数，根据养老金以及替代率的计算方法得到该企业职工自2023年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）时的各种情况下的养老金替代率：
养老保险**缺口为养老金领取总额与养老保险金缴费总额之差。该企业某职工自 2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。那么养老保险**的缺口情况：
养老金领取总额与养老保险金缴费总额之差为零时即达到收支平衡，该职工达到收支平衡时的年龄分别为：59，63，68。
我们可以尝试通过延迟退休年龄，或增大基础养老金计算公式中的系数（即适当增大**预算）来达到国家所要求的目标替代率，且比较容易维持收支平衡点。并且随着时间的推移，在不出现大的经济波动的情况下，养老金保险率会逐渐增大，但收支平衡点不易维持。
关键词：模型**养老金替代率收支平衡。
问题重述。养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹**账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险**。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。
养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。
现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险**的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险**收支平衡的一个重要因素是替代率。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.
替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险**收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险**收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险**入不敷出时出现的收支之差。
附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2023年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：
问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，**从2023年至2023年的山东省职工的年平均工资。
问题二：根据附件2计算2023年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2023年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：假设该企业某职工自 2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险**的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险**与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险**收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。
问题假设。1. 假设山东未来的经济发展稳定，不会出现大的经济波动。
2. 假设工人在职期间没有间断过缴养老保险金。
3. 假设每年年底缴该年度养老保险金。
4. 假设工人年底退休，下一年开始领取养老金。
5. 假设工人一年中的月收入不变。
6. 假设养老保险金一直发放至工人死亡。
符号说明。年份的平均工资。
各个年龄段每年的平均工资。
一年期存款利率，统一设定为3%
养老金替代率。
模型的建立与求解。
问题一。根据附件一提供的1978-2023年的山东省历年的职工平均工资表，我们用画出了历年的职工平均工资散点图：
从图中我们可以看出，职工的平均工资成增长趋势。我国目前作为一个发展中国家，经济发展迅速，成增长趋势，由此我们认为工资增长与经济的增长有着密切的关系。现在发达国家的经济发展已趋于平稳，他们的工资增长率相对较低。
根据我国经济发展战略，要在21世纪中叶是我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，所以我们认为我国的经济经过快速增长后也将趋于平稳，从而职工的平均工资增经过快速增长后也将趋于平稳。经查资料模型的曲线走向符合这一趋势，所以我们建立的模型如下：
其中为年份的平均工资，是比例系数，为初始年份的平均工资，，得其解。
记，则。由于存在模型误差应以带误差的方程（为独立，均值为0，等方差的随机变量）代替方程。在已知的条件下，求出的最小二乘估计：
其中为所给数据的个数。
我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。我们查阅有关中等发达国家经济水平所对应的年人均收入，**我们到年左右达到中等发达国家水平，取。当时，应用求解（程序见附录一）得到。
将、和代入，得到。
用画出职工年平均工资的图形，并与1978-2023年年平均工资数据相比对，发现的**效果比较满意，从而可以**2023年至2023年的山东省职工的年平均工资（见表1）为：
表1问题二。
根据附件2计算2023年山东省某企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。我们取各年龄段月收入范围的中间值作为该年龄段职工的月收入，由于各年龄段职工的月收入有差异，所以我们取该年龄段的平均月收入作为该年龄段职工工资，从而得到各年龄段的职工工资与该企业平均工资之比，结果（见表2）为：
表2利用上述比例，根据问题一**出的每年的年平均工资，我们得到各个年龄段每年的平均工资为。
某职工岁开始缴养老保险，岁退休，缴费年限为，共计个月，岁开始每月领取养老金。
其中为参保人员退休前1年、2年、……年省职工平均工资；为参保人员退休前1年、2年、……年本人缴费工资额，银行利率为3%。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，即：
若该企业职工自2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休，则，由问题一所**的数据可知，然后应用求出，所以。
同理，我们可以得到30-60岁，30-65岁，40-55岁，40-60岁，40-65岁的替代率（见表3）为。
表3问题三。
某职工岁开始缴养老保险，岁退休，缴费年限为，共计个月，岁开始每月领取养老金，直至岁死亡。则该职工养老金发放总额为，养老保险金缴费总额为。 养老保险**缺口为养老金领取总额与养老保险金缴费总额之差，所以养老保险**缺口为：
若该职工自2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休，56岁开始领取养老金，直至75岁死亡。则，该职工养老金发放总额为=95124，通过求得养老保险金缴费总额为=14303，所以养老保险金缺口为80821元。
同理，我们可以得到该职工60岁与65岁退休时养老金保险金缺口（见表4）
表4以55岁退休时为例，利用求解到该职工停止领取养老金缺口值（见表5）为：
表5养老金保险金收支平衡是指养老金领取总额与养老保险金缴费总额之差为0。从表中可以看出，59岁时养老保险金缺口值最接近于0，即该员工在59岁时，其缴存的养老保险**与其领取的养老金之间达到收支平衡。
同理，我们可以得出该职工在60岁与65岁退休时，其缴存的养老保险**与其领取的养老金之间达到收支平衡的年龄分别为63岁和68岁。
问题四。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险**收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险**收支平衡较难维持，我们通过对问题二和问题三的结果进行分析，发现：退休年龄越晚，其养老金替代率越高，收支平衡点容易维持。
我们尝试计算职工自2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算出其和到达平衡点的年龄并与问题二，问题三所求结果进行比较，绘制**如下：
通过**我们可以发现，随着时间的推移，养老金替代率会逐步增高，但收支平衡点不易维持。
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