数学建模实验题目解答

题目一：慢跑者与狗。

一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的常速v=1跑步，设椭圆方程为： x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他。

这只狗从原点出发，以恒定速率w跑向慢跑者。狗的运动方向始终指向慢跑者。分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹，并分析狗是攻击到慢跑者。

一，建立模型。

设时刻t慢跑者的坐标为(x(t)，y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)),又x=10+20cost, y=20+15sint.

由于狗的运动方向始终指向慢跑者，故此时狗与人的坐标连线就是此时狗的轨迹曲线弧处的切线，即dy/dx=(y-y)/(x-x), y’=(dy/dt)/(dx/dt) 又运动时间相同：,解得可得参数方程为：

二，求解模型。

w=20时，建立m-文件如下：

function dy=xy1 (t,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt

10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt

10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

取t0=0，tf=6.0，建立主程序如下：

t0=0;tf=6.0;

[t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]);

t=0:0.1:2*pi;

x=10+20*cos(t);

y=20+15*sin(t);

plot(x,y,'-

hold on

plot(y(:,1),y(:,2),'

轨迹线如下图：

发现狗没有攻击到慢跑者，于是，从4.0开始，不断的更改tf的值，发现当tf=3.15时， 刚好追上慢跑者。其轨迹线如下图所示：

w=5时， 建立m-文件如下：

function dy=xy2(t,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt

10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt

10+20*cos(t)- y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

取t0=0，tf=30立主程序如下：

t0=0;tf=30

[t,y]=ode45('eq4',[t0 tf],[0 0]);

t=0:0.1:2*pi;

x=10+20*cos(t);

y=20+15*sin(t);

plot(x,y,'-

hold on

plot(y(:,1),y(:,2),'

轨迹线如下图：

发现狗没有攻击到慢跑者，当tf=50, 轨迹线如下图：

在不断修改tf的值，分别取tf=60.70…1000….

可以看出，狗永远追不上慢跑者。

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