电梯调度问题。
摘要。商业中心写字楼在上下班高峰期的电梯拥挤情况给公司以及个人带来了严重的不便，工作人员要等待好长时间才可能坐上电梯。所以对于一个写字楼，对电梯进行合理的调度是至关重要的。
本文的目的是建立合理的电梯调度方案，以解决某写字楼的电梯拥堵情况，尽量减少办公人员的等待时间。
模型一从到达最低层的员工的分布情况，假设到达最底层的各楼层的办公人数是与各楼层的总办公人数成比例的（见表二）。六部电梯对21个楼层进行运送，建立非线性规划进行求解。
模型二根据各楼层的总办公人数相差不大，假设各楼层的办公人数均为200人。让六部电梯对21个楼层进行分段运送。求得结果为第一部电梯负责2-6层，第二部电梯负责7-10层，第三部电梯负责11-13层，第四部电梯负责14-16层，第五部电梯负责17-19层，第六部电梯负责20-22层。
关键字：非线性规划，分段运送。
一、问题背景。
商业中心写字楼在早上上班前的一段时间内办公人员都会陆续的到达，在底楼等电梯的工作人员会很多，人山人海非常的拥挤。常常碰到在等五分钟就迟到但电梯好长时间还没有到来的情况，候梯的人焦急万分。每天早上这段时间内，在一栋写字楼上班的人们随机的走进大楼，乘电梯到达各层，结果有几部电梯在高峰期每一层都停下来上下一两个乘客。
在下班的时候，工作人员都是在一个时间内同时下班也会非常的拥挤，很明显会等待更长的时间。由于这种电梯安排不合理，造成乘客运送速度缓慢和电梯资源的浪费的现象。所以必须设计一个合理有效的电梯运行方案，在电梯停靠的层数等一些方面进行优化设计减轻运送速度缓慢和电梯资源浪费的程度。
二、问题重述。
商业中心写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，六部电梯，每部电梯最大载重是二十个成年人的体重总和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。
问题。一、请给出若干合理的模型评价指标。
问题。二、暂不考虑该写字楼的地上部分，每层楼层的办公人数经过调查已知（见表一）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间均是3秒，最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
请你针对这样的简化情况，建立自己的数学模型，给出一个尽量最优化的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。
表一：该写字楼各层办公人数。
问题。三、将在问题二中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。
三、基本假设。
1） 早晨上班高峰时期的办公人员全部为从最低楼上行的乘客（不考虑其他性质的乘客），下班时乘客都是下到最底层（从不考虑其他性质的乘客）。
2） 假设优化电梯调度模型后乘客一定按照所设计的方案乘坐相应的电梯，而不选择其他的电梯。
3） 电梯无任何故障始终按预定的调度运行。
4） 乘客进入电梯后，电梯门随即关闭，不考虑人为因素的等待情况。
5） 进入电梯的乘客不存在个体的差异，并且进入的乘客不超过额定得承载人数。
四、符号说明。
i：表示第i部电梯；
j：表示第j层楼；
表示第i部电梯运行输送到第j层楼的人数；
表示第i部电梯是否在第j楼层停留（0-1变量，1表示电梯在该层停留；
表示上班时在最底层的要到达第j层楼的人数；
表示第i部电梯在楼层停留的时间；
表示第i部电梯在楼层间运行的时间；
第i部电梯能够到达的最高楼层；
表示第i部电梯往返一次所运行的时间；
表示第i部电梯运送员工的总耗时；
t：表示六部电梯往返一次所运行的总时间；
sign：表示返回某一个变量的符号值；
五、问题分析。
对于电梯的调度问题，实际上前人已经做了很多的研究，并已经给了一些较为成熟的模型。原先的模型主要是有效的运用电梯，使每一部电梯都能得到有效的利用。然而本题要求在上下班高峰期时把各楼层的办公人员在较短的时间内都能到达预定的位置，减轻拥挤和办公人员等待电梯的时间，在这个基础上建立自己的电梯运行的数学模型。
对于问题一，由于本问题要求是缓解早晚上下班高峰期的电梯拥堵情况，如果我们能够减少电梯往返一次所用的总时间，便能减少其他办公人员等待电梯的时间，所以所建立的评价指标首先应该考虑的是六部电梯往返一次所用的总时间。其次每一楼层的情况都不一样，我们还要以所有办公人员都到达其所在楼层的时间为评价指标。综合这两个评价指标可以很好的评价各个调度方案的优劣。
对于问题二，在每层楼之间电梯的平均运行时间均是3秒，最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。要求解出一种尽量最优化的电梯调度方案，使得办公人员在比原来减轻拥堵的情况下，而且在较短的时间内都能够达到各自的办公楼层。办公人员的数目很大，并且会在上班前的一段时间内到达最底层，乘坐电梯到达自己的办公楼层。
办公人员在一个时间点同时到达最底层的人数是不定的，可能几个也可能同时到达成千上百人。而且到来的办公人员中各楼层的人数也可能是随机的。这样建立的模型比较复杂，各楼层到达底层的人数是随机不确定的，情况太多不能够进行有效的分析求解。
我们可以把模型进行简化，假设在一个时间点到达底层需要乘电梯的各楼层的人数与各楼层的总人数成比例。这样建立的模型大大的得到简化，建立非线性规划方程进行求解。
对于问题三，要求在问题二中所建立的数学模型进行进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。
六、模型的建立与求解。
1）评价指标体系。
一、 六部电梯往返一次所运行的总时间t；
电梯运行总时间的计算公式为：
其中。二、 所有办公人员都到达其所在楼层的时间；
所有第j层楼的办公人员到达的时间为：
2）模型一。
上班时到达最底层的各楼层工作人员是与各层总人数成比例，如到达底层人数为120人，各楼层人数是固定的（见表二）。
表二：刚好到达底层120人时各楼层占的人数。
每一部电梯往返一次运行的时间是不同的。每一部电梯都有办公人员出入电梯所需要的停留时间和电梯在楼层间上升所需要的时间。。
则六部电梯运行的总时间为。
对该模型建立的目标函数为。
约束条件为：
对于模型一利用lingo软件进行编程求解，求解结果见下表：
由此可得模型一的电梯的调度方案，六部电梯负责运送员工的楼层见下表：
3）模型二。
本模型电梯采用分段运行的方案，即六部电梯只负责连续几层的运送任务。由于各层办公人员总数相差不是很悬殊，均在200人左右波动，因此为了简化模型可以认为每各楼层的总办公人数均为200人。建立以运送完所有员工所耗时最少为目标函数的非线性规划。
设第i部电梯运行的最高楼层为；
则第一部电梯运送2，…，楼层的员工；
所用的时间为。
第二部电梯运送，…楼层的员工；
所用的时间为。
第三部电梯运送，…楼层的员工；
所用的时间为。
第四部电梯运送，…楼层的员工；
所用的时间为。
第五部电梯运送，…楼层的员工；
所用的时间为。
第六部电梯运送，…楼层的员工；
所用的时间为。
建立运送完所有员工所用时最少的目标函数：
其中约束条件：
1）后安排的电梯达到的最高层必高于前一安排的电梯达到的最高层，且六号电梯最高到达22层，因此有：
2）各号电梯运送任务耗时不能相差太大，有：
此模型转化为求如下带有约束的非线性规划模型；
利用lingo软件求解可得到模型二的结果；
所以模型二电梯的调度方案为：
3）对两种方案的评价。
1、计算六部电梯往返一次所运行的总时间t；
对于模型一，由电梯的电梯调度方案可得各个电梯的往返一次所用时，见下表：
模型一中所选方案各个电梯用时情况。
模型一中所选方案各个电梯用时情况。
2、 第j层楼所有办公人员都到达其所在楼层的时间；
根据以确定的调度方案容易求的各个方案的，结果表示如下。
两种方案的比较。
七、模型的评价与改进。
在模型一中考虑到了早上上班时到来员工的情况，即认为到达最底层的各楼层工作人员是与各层总人数成比例的，所以在这种假设下建立起的优化方程能够在一定的程度上协调各个楼层员工的等待时间，从而不引起只是某层楼员工的拥堵情况，但是这种情况由于协调了各个楼层，所以这种方案不是最省时的电梯调度方案。
另外，模型一中假设到达最底层的各楼层工作人员是与各层总人数成比例的，虽然说与现实情况比较类似，但是员工的到来时随机的，到来的各个楼层的员工数目是不定的。所以，应该寻求一种更好的模型来模拟员工到来的规律从而确定到达最底层员工的情况。
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