第6章第4节。
时间：45分钟满分：100分。
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. 函数y＝log2(x＋＋5)(x>1)的最小值为( )
a. －3 b. 3
c. 4 d. －4
答案：b解析：x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝2＋6＝8，当且仅当x－1＝即x＝2时取“等号”，y＝log2(x＋＋5)≥log28＝3.
2. [2012·广东调研]已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
a. m≥4或m≤－2 b. m≥2或m≤－4
c. －2答案：d
解析：因为x>0，y>0，所以＋≥2＝8.
要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－43．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈r)对称，则ab的取值范围是( )
ab．(0，]
c．(－0) d．(－
答案：a解析：由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤()2＝，故选a.
4. 设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )
a. 0 b. 4
c. －4 d. －2
答案：c解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.故选c.
5. [2011·上海吴淞中学月考]对于使－x2＋2x≤m成立的所有常数m中，我们把m的最小值1叫作－x2＋2x的上确界，若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
a. －3 b. －4
c. －d. －
答案：d解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以2＝－，即－－的上确界为－.
6. 已知平面上不共线的四点o、a、b、c满足＝a＋b (a，b为实数)，若a、b、c三点共线，则2a＋2b的最小值为( )
a. 2 b. 2
c. 4 d. 4
答案：b解析：依题意，不共线的四点o、a、b、c满足＝a＋b (a，b为实数)，且a、b、c三点共线，∴a＋b＝1，又2a>0,2b>0，∴2a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，选b.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. [2012·南京调研]从等腰直角三角形纸片abc上，剪下如图所示的两个正方形，其中bc＝2，∠a＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为。
答案：解析：设两个正方形的边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且≤a，b≤，s＝a2＋b2≥2×()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
8. [2011·湖南]设x，y∈r，且xy≠0，则(x2＋)(4y2)的最小值为。
答案：9解析：(x2＋)(4y2)＝5＋4x2y2＋≥5＋2＝9，当且仅当4x2y2＝即x2y2＝时等号成立．∴最小值为9.
9. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨．
答案：20解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，又运费为4万元/次，所以一年的总运费为·4万元，又一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为·4＋4x万元，·4＋4x≥160，当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
三、解答题题12分、12题13分)
10. [2012·泉州质检]已知a，b，c，d均为正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证：＋＋证明：∵＋
＋②＋得：＋＋
11. (1)设0(2)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．
解：(1)∵00.
y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∈(0，)，函数y＝4x(3－2x)(0(2)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.
2＋5≤x＋y＋5＝3xy.
3xy－2－5≥0，(＋1)(3－5)≥0，≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.
此时x＝y＝，故xy的最小值为。
12. 经观测，某公路段在某时段内的车流量y(万辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝(v>0)．
1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
解：(1)y＝＝≤1.108.
当v＝，即v＝40(千米/小时)时，车流量最大，最大值约为1.108(万辆/小时)．
2)据题意有≥1，化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64](千米/小时)这个范围内．
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