1. 根据能控性判据写出相应能观性判据，并给出例子。
解：如果一个系统是能控的，那么一定有的矩阵。
式1在任意时间时非奇异。若将和分别替换为和，则式1化为。
式2这个形式符合系统能观的条件，因此系统是能观的。这就是对偶原理。
因此根据对偶原理，之前的能控性判据可以改写如下：
1） 若的矩阵非奇异，则系统能观；
2） 若的能观性矩阵。
是列满秩的，则系统能观；
3） 若对于矩阵的所有特征值，的矩阵。
是列满秩的，则系统能观。
图 1 一个二阶电路系统。
例如在图1所示的电路中，选取为输入量，为输出量，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统的方程为。
1） 利用判据（1），则有状态转移矩阵。
由于，所以，所以矩阵。
可以看出该矩阵不满秩，因此该系统不能观。
2） 利用判据（2），则系统的能观性矩阵为。
所以，即能观性矩阵不满秩，因此系统不能观。
3） 利用判据（3），则矩阵的特征值，对于，其对应的矩阵。
可以明显看出该矩阵不是列满秩的，因此系统不能观。
事实上，判据（1）是只是系统能观性的一般判据，但因为这种方法需要计算状态转移矩阵，十分繁琐，因此在实际应用中并不常用，比较常用的是后两个判据。
2. 当系统的初始状态落在不能观子空间、且输入信号不为零时，求输出信号（分析和**）。
解：若系统为维线性系统，且它是不完全能观的，那么其能观性矩阵的秩，则必然存在一个非奇异的线性变换，能将系统变换为。
式中。因此变换过后的系统可以写作：
由此可见，，则系统分解为为两部分，分别是：
以及。所以系统的状态响应属于，称为不能观子空间。
若系统的初始状态落在不能观子空间，即时，系统的输出为：
由此可见此时系统的输出仅与系统的输入有关，而与系统的初始状态无关。
例如对于图1所示的系统，其状态空间表达式为。
那么通过线性变换将系统进行能观性分解可得：
其中变换矩阵。
当系统的初始状态落在不能观子空间时，有，则系统的初始状态为。
1）令a，输入为2v，则系统的输出为：
2）令a，输入为2v，则系统的输出为：
3）令a，输入为3v，则系统的输出为：
这三种情况的**结果如图2、图3、图4所示。
图 2 情况1**结果。
图 3 情况2**结果。
图 4 情况3**结果。
从图中可以看出系统的输出只与输入有关，与系统的初始状态无关。
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