1.混凝土本构关系模型。
按照力学理论基础的不同，已有的本构模型大致可分为一下几种类型：以弹性理论为基础的线弹性和非线性弹性本构模型；以经典塑性理论为基础的弹全塑性和弹塑性硬化本构模型等等。
1.1 混凝土单轴受力应力-应变关系。
1.1.1混凝土单向受压应力-应变关系。
（1） saenz等人的表达式为。
式中，e为弹性模量，a，b，c和d为常数。
图1.混凝土单轴受压应力-应变关系。
（2） hognested的表达式。
hognested建议的模型，其应力——应变曲线的上升段为二次抛物线，下降段为斜直线，其表达式为。
图建议的应力-应变曲线。
1.1.2混凝土单向受拉应力-应变关系。
根据典型的混凝土单轴受拉应力-应变全曲线的基本特征，可以采用曲线拟合的方式建立轴心受拉应力--应变的本构关系方程。例如，美国的gopalaratnam和shah建议将受拉应力——应变全曲线分别按上升段和下降段来表示，且下降段与裂缝宽度有关，即。
上升段 下降段
式中：—裂缝宽度 —初始切线模量。
—常数，可取，
我国《混凝土结构设计规范》gb50010-2002也给出了分段式的受拉应力——应变全曲线方程，表示为：
上升段 下降段
式中峰值应变t，p 随抗拉强度增加而增大，其间的经验回关系是：
t，p=1.2非线弹性本构模型。
1.2.1 cauchy模型。
cauchy模型建立的各向同性一一对应的应力应变关系为。
可展开为：根据caley-hamilton定理有：
但cauchy模型在时，一般不能满足。因而，cauchy模型在不同加载途径下得到的应变能和余能表达式不是唯一的或者不存在，不能满足弹性体能量守恒定律，但在单调比例加载途径下还是适用的。
1.2.2 green模型。
green模型是应用应变能和余能原理建立的各向同性材料非弹性本构关系。
其中。1.2.3 全量式应力应变关系采用、的模型。
这种模型与线弹性均质材料的应力应变关系相似，但采用割线模量、代替、。
对于平面应力状态有：
1.2.4 kuper-gerstle模型。
kuper-gerstle模型基本特点是仅适用于受压分析；仅适用于上升段；采用体积模量和剪切模量计算；采用割线模量、全量式模型。
1）二轴受压。
2）三轴受压。
1.2.5 增量式正交本构模型。
1）二轴应力下混凝土增量正交模型。
darwin，pecknold等将等效单轴应力应变关系用于二轴应力情况下，采用了saenz单轴受压应力应变表达形式，不考虑泊松比的影响：
考虑泊松比，采用正交增量的应力应变关系表达式为：
根据各向异性弹性力学关系，，可近似取，，于是正交增量应力应变可写成：
2）三轴应力下混凝土增量正交模型。
elwi，murray提出了三轴应力下增量正交本构模型，采用saenz形式，给出了三轴应力的等效单轴应力应变关系如下：
其中。增量正交应力应变关系。
bathe等提出了三轴应力状态下增量的应力应变关系，按应力阶段把混凝土看成各向同性、正交各向异性材料，并且结合混凝土开裂和压碎情况，刚度矩阵的具体计算如下：
1）在拉伸而未开裂，压应力很小及卸载情况下，混凝土作为各向同性材料，其切线模量取初始弹性模量，即。
（2）在三轴受压时，最大压应力时，其切线模量可近似地按各向同性非线性弹性材料来处理。
3）当压应力较大，即时，混凝土作为正交异性非线弹性材料来处理。
（4）当达到破坏条件时，认为。
5）当某主应力超过混凝土抗拉强度时，认为沿主拉应力方向的混凝土开裂，取刚度矩阵为。
1.3混凝土多轴受力应力-应变关系。
1.3.1 线弹性本构模型。
这是最简单、最基本的材料本构模型。材料变形在加载和卸载时都沿同一直线变化，完全卸载后无残余变形。因而应力和应变有确定的唯一关系。
当混凝土无裂缝时，可以将混凝土看成线弹性均质材料，用广义胡克定律来表达本构关系：
式中，为材料常数，为一四阶张量，一般有81个常数，如果材料为正交异性时，常数可减少至9个，如材料为各向均质时，可用两个常数来表达，称为lame常数。
考虑了材料性能的方向性差异，尚可建立不同复杂程度的线弹性本构模型。
1）各向异性本构模型。
结构中任何一点有6个应力分量，相应地有6个应变分量。如果各应力和应变分量间的弹性常数都不同，其一般的本构关系为。
2）正交异性本构模型。
对于正交异性材料，正应力作用下不产生剪应变，剪应力作用下不产生正应变，且不在其他平面产生剪应变。本构模型可以分解，简化为：
3）各向同性本构模型。
各向同性材料的三方向弹性常数值相等，本构关系可简化为。
1.3.2混凝土弹塑性本构模型。
目前采用的弹塑性本构关系可分为两种：全量理论和增量理论。全量理论是塑性小变形理论的简称，适用于简单加载情况。
增量理论又称流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论。
1）混凝土弹塑性增量理论。
弹塑性增量理论需要对屈服准则、流动法则和硬化法则作出假定。设屈服条件用下式表示。
式中，表示应力状态；k表示硬化函数。
增量理论的弹塑性本构矩阵的一般表达式为。
其中。式中a表示硬化参数，其值由材料试验确定。
2）混凝土弹塑性全量理论。
全量理论的弹塑性应力-应变关系的可写为如下形式。
式中、分别表示应力偏量和应变偏量的列向量。由上式可得应力-应变关系的矩阵表达式。
其中，为弹塑性矩阵，其表达式为。
其中，。1.3.3粘弹性与粘塑性本构模型。
1）粘弹性的本构关系。
a．开尔文体粘弹性本构关系。
开尔文体的假定：①粘弹性体中的应力是弹性变形所对应的应力与粘性阻力所对应的应力之和；②粘弹性体中的应变与弹性应变、粘性应变相同；③粘性应变是不可压缩的，即体积变形的完全弹性的。于是有。
利用。代入上式可得。
b．麦克斯韦粘弹性体本构关系。
麦克斯韦粘弹性体的假定：①粘弹性体的变形的弹性变形和粘性变形之和；②粘弹性体的应力与弹性变形对应的应力相同，也与粘性阻力所对应的应力相同；③粘性变形的不可压缩的。于是有。
2）弹粘塑性体的本构关系。
对于弹粘塑性体介质，我们假定：
总变形可分为弹性变形和塑形变形之和。
弹性变形与弹性应变之间服从胡可定律。
粘弹性变形只是达到了粘弹性体的屈服面后才产生。
粘弹性变形服从正交流动法则。
表达式如下。
1.4混凝土弹塑性损伤断裂本构模型。
根据混凝土单轴受压的试验研究结果，混凝土在应力未达到其强度极限以前，即曲线的上升段，应力应变的非线性关系主要受塑性变形影响，这一影响表现为弹塑性本构关系。而在曲线下降段，混凝土的非线性关系则主要受混凝土内部微断裂（即内部损伤）的影响，而表现为损伤断裂的本构关系。因而混凝土的本构关系可以按上升段及下降段分别采用不同的模型。
在三轴受力的情况下，则表现为强化和软化，在强化段采用弹塑性模型，在软化段采用损伤力学模型。
1.4.1单轴受力状态下混凝土损伤本构模型。
1）mazars损伤模型。
a．单轴受拉损伤模型。
mazars将脆性材料的应力-应变曲线分为上升段和下降段，其受拉应力-应变关系如下。
式中，是弹性阶段的弹性模量；、是材料常数，其中下标t表示受拉。图3 mazars损伤模型的相关关系曲线。
a）；（b）；（c）
b．单轴受压损伤模型。
其受压应力应变关系如下。
2)loand损伤模型。
loand将应力-应变曲线分为上升段和下降段，如图（a）所示。材料的有效应力与应变关系如下。
上式中所表达的关系曲线如图（b）所示。式中是材料断裂应变，即当时时，d=1；称为材料净弹性模量，定义为。
式中，e表示无损伤的弹性模量；表示加载前得初始损伤值图4 loland损伤模型的相关关系曲线。
1.3.2混凝土塑性损伤本构模型。
1）llnl混凝土塑性损伤模型。
该模型由llnl提出。假定混凝土的破坏面和参与强度分别为。
式中，为混凝土极限抗压强度；为参与强度；为静水压力，；为材料常数。
混凝土的屈服面为。
式中，为取值在0~1之间的常数，或者可以定义为损伤变量的某一函数。损伤变量定义为。
式中， 为材料常数；为受拉阶段强度；为有效塑性应变。
应变率效应的增大系数为。
式中，为混凝土圆柱体抗压强度；为混凝土圆柱体抗压强度的增强系数。
2）malvar混凝土塑性损伤模型。
malvar对llnl模型作了四方面的修正：受拉截面强度；考虑了拉、压子午线的不同；损伤变量的演化；应变率效应、剪切强度计算方法。
将拉力截断修正为：当到达最大极限面时，；未达到极限时。
极限面、屈服面和残余强度面修正为。
式中，均为材料常数。malvar建议，。
损伤变量定义为。
式中为混凝土圆柱体抗压强度的增强系数。
该模型采用了willam-warnke屈服准则，考虑了混凝土拉、压强度的不同。
1.5 采用断裂理论和塑性理论组合的塑性断裂理论，并考虑用应变空间建立的本构模型。
塑性断裂理论考虑了混凝土应变的软化段。但经典的塑性本构模型很难反映混凝土应变软化段。
1.5.1理想断裂模型。
dougill建议用刚度对话表达固体的逐步断裂，在应变空间断裂面函数方程为。
a）dougill假定断裂材料是完全弹性的，卸载时可恢复到初始应力处，无残余应变，由于材料是逐步断裂的，故是变化的，且有。
与弹性应力增量一样：
断裂应力减量为。
根据i1’yushin假定，
按流动法则有。
根据一致性条件对式（a）微分，求：
可得： 这样可求出：
进而可得应力应变本构方程：
1.5.2塑性断裂理论。
塑性断裂理论的应力应变本构方程可写成：
塑性断裂本构模型，对塑性滑移是按经典塑性理论通过加载面和主应力空间来处理的，微裂缝则通过建立应变空间势函数来处理的，因此这个模型需同时定义两个加载面，造成数值计算的困难。另一方面，在非弹性变形中要弄清塑性滑移和微裂缝变形各占多大比例也是比较困难的。
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