结构非线性有限元分析。
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1、求下图所示单元的刚度矩阵，设。
解：⑴求， ，三角形面积。
从而。⑵求
当时，平面应力问题与平面变形问题的相等，得。
⑶求。⑷求。
2、设有均质、等厚的三角形单元ijm，受到沿y方向的重力载荷的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。
解：设此三角形单元ijm的厚度为t，三角形ijm的面积为a，重度为γ，则
单元的节点为：
根据形函数的性质有：
得：上式表明，受自重荷载情形的等效节点力为单元重量的。
3、在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛顿迭代法或bfgs法，简述两种方法的处理过程。
修正的牛顿迭代法。考虑单变量为x的非线性方程具有一阶导数，在xn点作一阶泰勒级数展开，它在xn点的线性近似为。
因此，非线性方程，在xn点近似为线性方程：
由上式求得n步的修正项：
在几何非线性的有限元法中，结构的刚度矩阵与其几何位置有关，平衡方程由变形后的位形描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的函数。设变形为δ，结构的平衡方程式：
其为一个非线性方程组，记非线性方程。
用newton-raphson方法求的根时，迭代公式分别为。
其中满足下式：。
式中称为切线刚度矩阵，表达式为： =
在每一个迭代步中，通过求解切线刚度矩阵，进而用进行迭代求解。newton-raphson方法求解过程中，每次都计算，计算速度较慢。有时直接采用第一次迭代计算得到的切线刚度作为来加速计算，即：
，称为修正的newton-raphson方法。但这个方法收敛速度可能会减慢。修正的牛顿迭代法在迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。
性能有所改进。
⑵bfgs法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的一种折中方法。
因为它在迭代过程中，并不重新形成刚度阵，但也不保持不变，而是用某种方法对刚度阵（确切地说是对它的逆）进行修改，从而求解。它在有限元分析遇到的许多问题中，具有相当好的收敛性，尤其在复杂材料的非线性分析和动态分析中推荐采用bfgs法。
4、简述非线性问题求解方法及其简要过程。
在非线性问题求解中考虑小变形范围内的材料非线性弹性问题。由于是小变形，有限元中的平衡方程和几何关系与线弹性问题相同。非线性弹性材料的本构方程是非线性的，写成如下一般形式：。
在平衡方程中，若以节点位移表示，则方程为非线性。写成刚度矩阵的形式后，应是，此式为非线性方程，可以用迭代法求解。用迭代法求解主要有以下几种方法：
割线刚度法。
材料的应力应变关系能够表示如下：，考虑到小变形时，则上式可以写成：，定义非线性刚度矩阵如下：，平衡方程的迭代公式为：.
在迭代过程中，先取，求出，可求得，作为第一次近似，再从进行，求算，进而解出，多次迭代直至为止。是所求解的结果。
即在每次迭代中系统受全部荷载的作用，并取与前一次迭代终了时的应力状态相对应的割线刚度。在本次迭代后以新的应力状态来修正刚度进行下一次迭代。直至前后两次迭代的结果充分接近（即误差足够小）为止。
牛顿迭代法。
考虑单变量为x的非线性方程具有一阶导数，在xn点作一阶泰勒级数展开，它在xn点的线性近似为。
因此，非线性方程，在xn点近似为线性方程：
由上式求得n步的修正项：，
在几何非线性的有限元法中，结构的刚度矩阵与其几何位置有关，平衡方程由变形后的位形描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的函数。设变形为δ，结构的平衡方程式：
其为一个非线性方程组，记非线性方程。
用newton-raphson方法求的根时，迭代公式分别为。
其中满足下式：。式中称为切线刚度矩阵，表达式为： =在每一个迭代步中，通过求解切线刚度矩阵，进而用进行迭代求解。
⑶增量—变弹性法（切线模量法）
增量法是采用分段线性化的处理方法来要求解非线性问题。把荷载划分为许多很小的荷载增量，逐级地施加于结构上，在每一级增量时结构均假定为线性的，在增量范围内刚度为定值。对于各级荷载增量，其刚度取不同值。
以此来反。
映非线性特性，这一方法的基本特点如下图：
若总的荷载被分为m个增量，则可将荷载表示为：
当荷载施加到第j级增量时，增量型的刚度方程为：
每级荷载增量时的刚度是由第一次荷载终了时的应力状态所决定。第一级荷载增量时可取为初始的刚度。每一级荷载增量后，可直接利用荷载给出的塑性条件及相应的本构关系对每一单元作判别。
并确定其弹—塑性矩阵作为第次增量时的应力—应变关系确定其刚度矩阵。对于第j次荷载增量，已经施加的总荷载。相应的位移，应力，应变为：
在求解弹—塑性问题时，增量的应力应变关系可表示：
显然，每一级荷载增量的求解完全采用线弹性的计算格式，仅须按新的应力确定与相对应的并据此重新形成单元刚度矩阵及系统的总刚度矩阵以进行下一次增量的计算。直到最后一次荷载增量完成为止。
增量—附加荷载法。
常刚度的增量迭代法是在每一级增量及每次迭代中都采用系统的初始刚。
线性刚度）通过与非线性性态相对应的等效—附加荷载，来考虑非线性引起的附加位移。这一方法对非线性系统的总刚度定义为**性刚度上作相应的非线性修正。
非线性刚度为：
由此可将增量形式的总体刚度方程写为：
假定总的位移增量可表示为线性增量和非线性增量之和，则。
将上式展开，移项得到：
可简写为：对于线性系统己知其刚度方程为：
由此可知，必有：或。
这表明，只须要把适当的“附加荷载”施加于线性系统，即可以在保持线性刚度的情况下，按照线性分析的方法求得非线性的附加位移增量，这一方法的分析步骤如图10-8所示。
由于上式中及均为未知，所以采用该方法求解时必须进行迭代运算。附加荷载可以借助于初应力减初应变的差值来确定。
初应变法（在弹塑性分析中）
因为总的应变增量等于弹性应变与塑性应变之和：，其中为塑性增量看作为初始应变，与有相同的含义。
对于某一级荷载增量，可利用线弹性刚度求解出对应于a点的线性位移增量，由于非线性的p-u曲线对应于该荷载增量的正确位移为b点。故位移增量应当是，位移增量之差即为塑性引起的附加位移，或叫“初始位移”，见下图：
⑹初应方法。
初应力法仍是采取增量加载，对于每一级荷载增量首先以线性方法求解节点的位移增量及应力增量，应变增量，并把由线性解所得的应力增量称为“全应力增量”。它相当于下图的。
5、简述格雷姆—施密特（gram—schmidt）正交化过程。
若特征方程的两个特征值互异，即，那么它们对应的特征向量必关于m正交，即 。对于特征值施重根的情况，例如
则为r重根，对应于它的特征向量有且仅有r个是线性无关的，为了在重根处用逆迭代计算处r个m正交的特征向量，不发生遗漏，采用格雷姆—施密特正交化。
假定在逆迭代中已得到s个特征向量现在要扩充产生一个向量，它与全部m正交，可任给与线性无关，令式中常数可利用正交条件定出，也就是在（11-20）式的两边左乘，并注意到：
即得 这样，在遇到重根时，用替作为逆迭代的初始迭代向量，对于第k次逆迭代类似地用代替作为迭代向量作逆迭代，由于满足与正交的条件，将收敛到。
6， 利用现有的有限元程序解决一个简单的工程问题。
例：薄壁圆筒受到内压力的例子。假设圆筒只承受径向压力，无轴向压力。
操作步骤如下：
一） 选取学科。选择main menu>preference命令，弹出一个优选对话框。因为我们分析的学科只涉及到了结构，所以选中structure复选框，然后单击ok按钮，表示我们只进行结构分析。
二） 创建几何模型。对于本例，我们采用自顶向下的方法，选择main menu>preprocessor>create>annulus命令，我们选取3个点，一个为中心，一个为内半径，一个为外半径。创建一个换面。
三） 划分网格。1、选取单元形式。对于本例而言，选择单元是plane2。
2、定义材料属性，选择main menu>preprocessor>material>material models命令，输入钢的杨氏模量“2e11”
四） 分网控制和分网。我们选择采用选择main menu>preprocessor>mesh tool命令，在弹出的对话框size control选项组中，单击areas右边的set按钮。在所弹出的对话框中进行如下操作：
1，直接在图形窗口中单击环。2，单击ok按钮。3，在弹出的单元尺寸设置中，在element edge length(单元边长)文本框中输入0.
02. 4，单击ok。5，在分网工具对话框中单击mesh按钮，对物体进行网格的划分。
6，在弹出对话框后，在图形窗口中单击环。7，然后单击对话框中的ok按钮。
五） 加载。在本例中考虑到重力和外压相对内压而言是很小的，所以不予考虑。只需要施加内压，这是一个表面荷载。为了对内表面施加压力，按如下步骤进行操作：
1， 选择utility menu>plot>line命令。这样图形窗口上将只画出两个圆，内院代表内表面，外圆代表外表面。2，将压力应用到线上。
3，在弹出的选取对话框中，选取内圆的4条选段。然后单击选取对话框上的ok按钮。4，输入压力常数”
六) 求解。由于本例的问题简单，使用默认设置就可以了。方法是选择main menu>solution>current ls命令，在弹出的对话框中查看摘要信息，如果确认信息无误， 则在对话框上单击ok按钮。
七) 结果分析。
本例所得出的图形如下所示：
划分网格如上图。
xy平面上的剪应力如上图。
yz平面上的剪应力如上图。
xz平面上的剪应力如上图。
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