1.证明。
解：由状态转移矩阵的定义可得，所以。
原式得证。2．证明当系统为线性时不变系统时，
解：对于线性时不变系统，为的方阵，那么对于每个初始状态都有唯一解，。将这个初始状态和个解排成矩阵，，则有。
根据状态转移矩阵的定义可得。
原式得证。3.根据实际计算机系统分析信号离散化步骤。
解：一个简化的计算机系统可以用以下框图来表示。
被控对象输出连续信号，并且经过采样-保持（s/h）电路和a/d转换器变为数字信号输入到计算机，该变换在采样瞬时进行。计算机经过控制算法将输入的数字信号加以处理，产生新的数字序列。在每个采样瞬间，一个数码（通常是由8位或者更多位的二进制数位组成的二进制数）被变为物理控制信号，该信号通常为连续信号或模拟信号。
有d/a转换器和保持电路把数码形式的数字序列变成分段连续信号。全部动作由计算机中的实时时钟来同步。由保持电路向被控对象馈送连续信号，直接或通过执行机构控制被控对象的动态性能。
因此用计算机系统控制实际对象时一个很重要的步骤就是信号的离散化。
1.采样。要使得连续信号变为计算机能够识别的数字信号，就需要对其进行采样。
所谓的对连续信号的采样，是用离散瞬时上的序列值，替代初始的连续信号。这种把时间上连续的信号转变成时间上离散的脉冲或数字序列的过程就是采样过程。完成信号转换的装置叫采样器或采样开关。
采样过程之后常常跟随着整量化（简称量化）过程。在量化过程中，模拟量的采样值被数字值（二进制数表示的）来代替，然后由计算机来处理数字信号，输出采样信号并送到保持电路，保持电路输出连续信号并被送到执行机构。
采样过程可以看做是用一个理想的采样开关每隔闭合一次，对一个连续函数进行采样。采样开关闭合一次，相当于在该时刻作用一个单位脉冲，采样开关周期闭合，相当于作用一系列的单位脉冲。因此，构造一个函数，令。
这就是理想采样开关的数学表达式。
得到采用开关的数学模型后，我们便可以写出连续信号和其对应离散信号的关系表示为。
或。即离散信号等于连续信号与单位脉冲序列的乘积。
如果想要能够将采样之后的信号无失真地恢复成原信号，采样频率就必须满足采样定理，即：，其中是采样频率，是信号有效频率的最高频率。采样频率和采样周期之间的关系为。
2.保持。连续信号经过采样开关以后，从时域观察，信号由时间上的连续信号变成了时间上的离散脉冲序列；从频域观察，信号由孤立的有限频谱变为具有无穷多的周期频谱。
因此要恢复信号，从时域上来说就是要通过离散的采样值求出；从频域来说就是要出去由于采样引起的附加频谱分量，仅保留主频谱分量。
能够完全保留主频谱分量同时去掉附加频谱的滤波器是一个具有以下频率特性的理想滤波器。
连续信号经过采样开关和理想滤波器后的输出为。
始终，为理想滤波器的频率特性。只要将上式乘以就能得到原信号的频谱，即能够完全无失真地恢复原信号。
但在实际中无法得到具有这种截止频率的理想滤波器，因此在工程上通常用低通滤波器来近似代替理想滤波器，其中零阶保持器是最常用的一种保持器。
零阶保持器将前一个采样时刻的采样值恒定不变地保持到下一个采样时刻，也就是说在时间区间内，零阶保持器的输出为常数，当下一个采样时刻到来时，又换成新的采样值继续保持，一个采样值只能保持一个采样周期。
设为经过零阶保持器后的恢复信号，由于，所以保持器的输出和输入之间的关系为。
进行拉氏变换，有。
所以零阶保持器的传递函数为。
连续信号经过采样和保持之后就变成了计算机系统可以处理的离散数字信号，从而可以对其进行处理，得到控制信号对对象进行控制，这就是信号的离散化步骤。
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