师航教育一对一个性化辅导讲义。
【学习目标】
理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
知识网络】要点。
一、因式分解。
1、分解因式概念。
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解的方法主要有： 提公因式法， 公式法， 分组分解法， 十字相乘法， 添、拆项法等。
要点诠释：1落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次。 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解。
名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。】
2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积。
3、因式分解的一般步骤。
1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
要点。二、因式分解常用方法：
1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc
公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)
名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是都遵循一个原则：取系数的相同字母的2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。
2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2
②完全平方公式：a2±2ab+b2
名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合该公式。】
3. 十字相乘法： 形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) ，这种方法叫做“十字相乘法分解因式”
1.对于二次三项式，将a和c分别分解成两个因数的乘积， ,且满足，往往写成的形式，将二次三项式进行分解。
如： 4. 分组分解法：
分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如。重点考点例析】
考点一：因式分解的概念。
1．下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
(1)12x3y2＝3x3·4y2 (2)m(x＋y－z)＝mx＋my－mz
(3)ax＋bxy－xy＝ax＋xy(b－1) (4)x3y＋xy＝y(x3＋x)
(5) (6)a2－2ab＋b2＝(a－b)2
(7)a2－b2＝(a＋b)(a－b) (8)x2－x－6＝(x＋2)(x－3)
思路点拨：由于因式分解的对象是多项式，而12x3y2是单项式，所以(1)不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而m(x＋y－z)＝mx＋my－mz恰恰相反，它是把m与x＋y－z的积化为一个多项式，所以(2)不是；由于(3)的结果也不是整式的积的形式，而是将原多项式进行了部分的分解，所以(3)不是；(4)中等号右边的x3＋x还可以提公因式x，它还没有分解完，所以(4)不是；(5)采用的是提公因式法，但它提取的是，这不是整式，而我们要求提取的公因式应为整式，即单项式或多项式，所以(5)也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以(6)、(7)、(8)是因式分解．
解析：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)不是因式分解；(6)、(7)、(8)是因式分解．
总结升华：(1)因式分解是在整式范围内进行的．另外，要注意在什么数的范围内进行因式分解，若题目没有说。
明，一般指在有理数范围内进行．
(2)因式分解不能只分解多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式的积的形式．
(3)一定要把多项式的每个因式分解到不能再分为止。
举一反三：【变式1】下列从左到右的变形，属于因式分解的有( )
a、(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6 b、ax－ay－1＝a(x－y)－1
c、8a2b3＝2a2·4b3d、x2－4＝(x＋2)(x－2)
思路点拨：本题考查因式分解的意义，考查对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。
a是整式乘法，显然不是因式分解；b的右端不是积的形式，也不是因式分解；c的左端是一个单项式，显然不是因式分解；d是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。
答案：d。总结升华：因式分解与整式乘法是一对互逆的运算．多项式的因式分解是把和差化为积的形式；而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然都是恒等变形，但它们是互逆的两种过程．
【变式2】下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
a、a(a－b＋1)＝a2－ab＋b b、a2－a－2＝a(a－1)－2
c、－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) d、x2－4x－5＝(x－2)2－9
思路点拨：因为a、b、d的右边都不是整式的乘积的形式，只有c的右边是整式的乘积形式，并且左右恒等，故c是因式分解，答案：选c.
【变式3】 关于多项式m(a－b)2－n(b－a)3－m(b－a)各项的公因式，下面说法正确的是( )
a、没有公因式； b、公因式为m； c、公因式为(b－a)； d、公因式为(b－a)2
思路点拨：m这个字母不是各项都有的，(a－b)2＝(b－a)2所以各项均有(b－a)，且次数最低是1，所以公因式为(b－a).
答案：选c考点二：提公因式法分解因式。
2．用提公因式法分解下列因式．
(1)21x2y2＋7x2y (2)－x3y2＋3xy2－12xy3)x(x－y)2＋y2(x－y)
思路点拨：(1)：当多项式的某一项和公因式相同时，注意不要漏掉1，即7x2y÷7x2y＝1。
(2)这个多项式的第一项为负，而括号内多项式的首项应为正，所以公因式为－xy，注意括号内中的每一项都要变号．(3)把(x－y)当作一个因式，利用提公因式法进行分解因式，但注意最后结果应是最简形式，能合并的一定要合并．
解析：(1)21x2y2＋7x2y＝7x2y(3y＋1)
(2)－x3y2＋3xy2－12xy＝－xy(x2y－3y＋12)
(3)x(x－y)2＋y2(x－y)＝(x－y)[x(x－y)＋y2]＝(x－y)(x2－xy＋y2)
总结升华：在确定各项的公因式时要注意，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。2：
提出公因式后，剩下的项组成的另一个因式的项数应和原多项式的项数相同。
举一反三：【变式1】分解因式 (1) 3x2y(x－y)2－6xy2(y－x)2， (2)3x(x－y)＋2y(y－x)
思路点拨：要找出3x2y(x－y)2与－6xy2(y－x)2的公因式。因为(y－x)2＝[－x－y)]2＝(x－y)2，所以要先把－6xy2(y－x)2化为－6xy2(x－y)2后再找出公因式：
3xy(x－y)2。(2)因为(y－x)＝－x－y)，所以公因式为(x－y)．
解析：(1) 原式＝3x2y(x－y)2－6xy2(x－y)2
3xy(x－y)2 (x－2y)
(2) 原式＝3x(x－y)－2y(x－y)
x－y)(3x－2y)
总结升华：当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母顺序，应尽量改变偶次幂项括号内的字母顺序，若均为奇次幂项，则应保持首项系数为正．
当n为偶数时，(x－y)n＝(y－x)n
当n为奇数时，(x－y)n＝－(y－x)n
【变式2】分解因式 15a(a－b)2n＋1－10ab(b－a)2n(n为正整数)。
解析：原式＝15a(a－b)2n＋1－10ab(a－b)2n
＝5a(a－b)2n [3(a－b)－2b]
＝ 5a(a－b)2n (3a－5b)。
【变式3】计算：(1)
2)如果，那么代数式的值等于多少？
解析：(1)原式＝＝＝2005
考点三：、公式法分解因式。
1、用平方差公式分解因式。
1．对下列多项式进行因式分解：
(1)x2－16 (2)1－25b2
(3)x2y2－z2 (4)
思路点拨： 以上各式均满足使用平方差公式分解因式的条件，所以可直接利用公式法进行因式分解。
解析：(1)x2－16＝x2－42＝(x＋4)(x－4)
(2)1－25b2＝12－(5b)2＝(1＋5b)(1－5b)
(3) x2y2－z2＝(xy)
(4)＝(2－(0.1n) 2＝
总结升华：注意平方差公式适用于只有两项而且是两个数的平方差或者是可化为平方差的形式的两项式，因式分解要分解彻底——即每一个多项式都不能再分解为止。
举一反三：【变式】把下列各式分解因式：
(1)－49＋x (2)4(x＋m)－(x－m) (3) x3－x (4) x4－y4
解析：(1)－49＋x2＝ x2－49＝x2－72＝(x＋7)(x－7)
或 (2)4(x＋m)－(x－m)
＝(3x＋m)(x＋3m)
(3)x3－x＝x(x)＝x(x＋1)(x－1)
(4)x4－y4＝(x2)2－(y2) 2＝(x2+y2)(x2－y2)＝(x2+y2) (x＋y)(x－y)
2：用完全平方公式分解因式。
4．把多项式(1)25p2＋10pq＋q2 (2) －x2－4y2＋4xy (3) 9(p－q)2－6(q－p)＋1分解因式。
思路点拨：(1)此题目中含有两个字母，那么这两个字母同公式中的a、b含义是一样的，即25p2、q2是两个单项式且原式中是(5p)2与q2的平方和的形式，中间一项是它们乘积的2倍．(2) 此题没有明显的完全平方形式．但它是一个二次三项式，该式的前两项分别是x2的相反数、4y2的相反数，因此如果把负号提到前面来就可得完全平方式了．(3) 解这个题目时，一种可能就是忽略了p－q与q－p的问题，直接把它们看成一个整体，从而错解。另一种可能是注意到了它们的区别，但在符号上出现了错误，如把q－p化成p－q时，没有提出负号，或者把(p－q)2变成(q－p)2的同时，又出现了变负的错误即写成－(q－p)2。
解析：(1)25p2＋10pq＋q2＝(5p)2＋2·5p·q＋q2＝(5p＋q)2。
(2) －x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)＝－x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－x－2y)2
(3) 9(p－q)2－6(q－p)＋1＝9(p－q)2＋6(p－q)＋1＝(3p－3q＋1)2
总结升华：运用完全平方公式分解因式时要注意两项是平方和的形式，中间一项是它们乘积的2倍，公式中的a,b可以是单项式或多项式。
举一反三：【变式】分解因式：(x2－1)2＋6(1－x2)＋9。
解析：(x2－1)2＋6(1－x2)＋9
＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9
＝[(x2－1)－3]2
＝(x2－4)2
＝[(x＋2)(x－2)]2
＝(x＋2)2·(x－2)2。
考点四：：提公因式法与公式法的综合应用。
1．因式分解
思路点拨：在分解因式时，一定先要认真观察，不要盲目下笔．通过观察发现多项式含有公因式a，因此先提取公因式a，余下的因式又可以利用公式法继续分解。
解析：＝总结升华：因式分解一般先考虑提公因式，然后再考虑用公式，并且要分解到底。
举一反三：【变式1】 分解因式
(1)x4－y4； (2)a3b－ab．
解析：(1)x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；
(2)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)．
【变式2】
(1)简便计算20042－4008×2005＋20052
(2)已知a2－2a＋b2＋4b＋5＝0，求(a＋b)2005的值。
解析：(1) 20042－4008×2005＋20052＝20042－2×2004×2005＋20052＝(2004－2005)2＝1
(2) a2－2a＋b2＋4b＋5＝0变形为(a－1)2＋(b＋2)2＝0
∴a－1＝0,b＋2＝0
∴a＝1,b＝－2
(a＋b)2005＝[1＋(－2)]2005＝－1
【变式3】把–16x4y6＋24x3y5–9x2y4分解因式。
思路点拨：首先这是一个三项式；其次各项有公因式x2y4；最后为了适应完全平方公式的形式，各项还要变号，为此提一个含有“–”的公因式–x2y4：
解析：原式＝–x2y4(16x2y2–24xy＋9)
＝–x2y4(4xy–3)2。
总结升华：分解因式时有公因式的要先提公因式，运用公式法分解因式时，首先从多项式的项数上区分选择哪种公式，然后再从形式上判断是否符合公式的特点，进而正确地进行因式分解。
【变式4】已知，，求的值．
思路点拨：根据完全平方公式有，它体现了，，的关系，由题中给出的条件，即可求出，进一点求出的值．
解：∵ 当，时，有．
总结升华：要熟练掌握完全平方公式的结构特征，另外最后求值时，应是的平方根，是一对互为相反数的数，故结果应有两个值。
第4讲因式分解
考点总汇 一 因式分解的方法。1.提公因式法。2.运用公式法 平方差公式。3.完全平方公式。微拨炉 二 因式分解的步骤。1.若多项式的各项有公因式，则应先 首项是负的，可将负号一并提取。2.若多项式的各项没有公因式，则可以考虑用法来分解因式。3.检查因式分解是否彻底。微拨炉 高频考点1 因式分解的概...
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一 提公因式法。一 知识引入。1 把一个多项式化成 的形式的代数变形叫做因式分解。2 填空 ab ac的公因式是2ab2 4abc的公因式是 3 填空。ab 2ac b 2c 7ab2c 14a2bc 7abc 7abc 8a3b2c 6a2b2c2 12a3bc2 2a2bc anb an 1c ...
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