①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，[**：z#xx#
x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数。
1，±3得商±1，±2，±，再分别以这些商代入原式求值可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，
设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3）， a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6[**：学|科|网z|x|x|k]
2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设。
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得。
解得。2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式。
常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设。
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
丙练习191． 分解因式：①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y4
2. 分解因式： ①x3+4x2－9 ②x3－41x+30
x3+5x2－18 ④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3－3x2+3x+7
③x3－9ax2+27a2x－26a3 ④x3+6x2+11x+6
⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10 ②x3－11x2+31x－21
x4－4x+32x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91[**：学科网zxxk]
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy ②x2－y2+2x－4y－3
x4+x2－2ax －a+1x+y）4+x4+y4
a+b+c）3－（a3+b3+c3）
7. 己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数。
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式。
求：当x=1时，f(x)的值。
初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解。甲内容提要和例题。
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法[**：学科网][**：学科网zxxk]
3． 添项拆项。是。为了分组后，能运用公式（包括配方）或提公因式。
例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc
分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式。
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1
4 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）
5 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
x(x+4)(x－4)+5(x+4) =x+4)(x2－4x+5)
6 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式。
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
4． 运用因式定理和待定系数法。
定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a
若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3
分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数。
1，±3得商±1，±2，±，再分别以这些商代入原式求值可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，
设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3）， a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6[**：z|xx|
2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。[**：学科网]
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设[**：学。科。网]
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得。
解得。2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)[**：学科网zxxk]
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式。
常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设。
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
丙练习192． 分解因式：①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y4
2. 分解因式： ①x3+4x2－9 ②x3－41x+30
x3+5x2－18 ④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3－3x2+3x+7
③x3－9ax2+27a2x－26a3 ④x3+6x2+11x+6
⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10 ②x3－11x2+31x－21
x4－4x+32x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy ②x2－y2+2x－4y－3
x4+x2－2ax －a+1x+y）4+x4+y4
a+b+c）3－（a3+b3+c3）
8. 己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数。
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式。
求：当x=1时，f(x)的值。
七年级数学竞赛讲座 行程问题
有趣的行程问题。1 走进美妙的数学世界。1 在19世纪的一次国际会议期间，法国数学家柳卡想来自世界各地的数学家提出了下面这个问题 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔港口开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在图中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度 同一航线行驶，...
七年级数学竞赛模拟试题 七
满分 100分考试时间 60分钟。一 选择题 每小题3分，共24分 1 若 a 大于1，则下列式子中，一定成立的是 a a a 0 b a a 0 a a 0 d a a 0 2.若m 0，n 0，m n 0，则m，n，m，n这四个数的大小关系是 mb.m n n m 3 如果有2014名学生排成一...
七年级数学竞赛讲座线段与角
线段与角。知识要点 1.线段。线段具有比两个端点，是直线的一部分 把线段向一方无限延伸就可以得到射线。线段与直线的重要性质 1 两点之间，线段最短 2 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。分线段计数公式 段上取n 2个点，若端点记在内时，线段上共有n个点，此线段被分成的各类线段总条数 2.角。角看...