第二讲圆柱与圆锥。
模块。一、圆柱的表面积。
如果圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的表面积为s圆柱=侧面积+2底面积=2πrh+2πr2.
1.(1)圆柱的表面积由几部分组成?
圆柱的侧面积展开之后是什么形状?然后计算这个侧面积呢?
请画出圆柱的展开图,并总结圆柱表面积公式。
2)计算下面圆柱的表面积(单位:厘米)(π取3.14)
解:(1)圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成,圆柱的侧面展开之后是一个长方形,长方形的长是2πr,高是h,所以s侧=2πrh,s圆柱=侧面积+2底面积=2πrh+2πr2.
2)s圆柱=2π×1×0.8+2π×12=11.304.
模块。二、圆柱圆锥体积。
如果圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的体积是v圆柱=πr2h;
如果圆锥的底面半径为r,高为h,则圆锥的体积是v圆锥=πr2h;
2.(1)一本纪念册的书页是圆形的,每一页的面积为460cm2,纪念册高3cm,求这本纪念册的体积是多少立方厘米(每一页书页的形状完全相同);
2)如果圆柱的半径为r,高为h,你能猜出圆柱的体积公式吗?在结合下图,请证明你的猜想。
3)计算下面各圆柱的体积。(单位:厘米)(π取3.14)
解:(1)v=460×3=1380cm3;
2)v圆柱=πr2h;
3)v1=π×42×4=200.96立方厘米;v2=π×4.52×6=381.51立方厘米;
3.(1)根据已知体体积的结论,猜想圆锥体体积和圆锥的什么数据有关?
2)小明想知道圆锥的体积公式,他使用了实验法,他找了有关圆柱形模具,又找了有关圆锥形模具,这两个模具的底面积一样大,也一样高。他向圆锥形模具中倒满水,然后再将水倒进圆柱形模具,发现三次正好将圆柱形模具倒满,结合试验现象,猜想圆锥的体积公式。
3)小明测量出这这两个模具高都是10cm,底面直径都是8cm,那么这两个模具依次最多各装多少水。
4)计算下面两个圆锥的体积。(单位:厘米)(π取3.14)
解:(1)圆锥体的体积与圆锥的底面半径和圆锥的高有关;
2)圆锥的体积等于底面与高都相等分圆柱的体积的三分之一;v圆锥=πr2h;
3)v1=π×42×10=502.41立方厘米;v2=π×42×10=167.47立方厘米;
4)v1=π×22×6=25.12立方厘米;v2=π×3=7.065立方厘米;
例4.(1)有a,b两个容器,如图所示,先将a容器注满水,然后全部倒入b容器,求b容器的水深是厘米。(单位:厘米)
解:va=π×62×10=120π立方厘米;
120π÷(25π)=4.8厘米。
2)有一根长为20厘米,直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个4厘米深,底面直径也为6厘米的圆锥形的孔,做成一个零件(如图所示),这个零件的体积为立方厘米。(π取3.14)
解:v=π×32×202××π32×4=489.84立方厘米。
例5.如图所示的立体图形名叫做“圆台”,它的上底面和下底面是互相平行但大小不同的圆形,圆心连线垂直于底面,若已知这个圆台的上底面半径是2厘米,下底面半径是4厘米,高为3厘米,则这个圆台的体积是立方厘米。(π取3.14)
解:将圆台的母线延长相交,则圆台的体积是大圆锥的体积减去小圆锥的体积。
大圆锥的对面半径是4厘米,高是6厘米,小圆锥的底面半径是2厘米,高是3厘米,所以v圆台=×π42×6×π×22×3=87.92立方厘米。
例6.图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸,你知道每层卫生纸有多厚吗?从卫生纸的包装纸上得到以下资料:“两层300格,每格11.
4cm×11cm”。我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为2.3cm和5.
8cm,那么每层卫生纸的厚度为毫米(π取3)。(精确到0.01mm)
解:设每层纸的厚度为x厘米,展开后的面积为11.4×11×300=37620平方厘米,体积是37620×2x立方厘米;
卷起来之后的体积是π×(5.822.32)×11=935.55,所以37620×2x=935.55,解得x=0.01243厘米≈0.12毫米。
随堂测试。1.一个圆柱的底面直径为6厘米,高为8厘米,那么它的侧面积为平方厘米,表面积是平方厘米,体积是立方厘米。(π取3.14)
解:s侧=2π×3×8=150.72平方厘米;
s表面积=150.72+2π×32=207.24平方厘米;
v=π×32×8=226.08立方厘米。
2.一个圆锥的底面半径为6厘米高为8厘米,那么它的底面积是平方厘米,体积是立方厘米。
解:s底=π×62=113.04平方厘米,v=×π62×8=301.44立方厘米。
3.有一个圆柱,直径是4厘米,高为3厘米;有一个圆锥半径和高都比前面说的圆柱大1厘米,那么圆柱和圆锥的体积比是多少?
解:v圆柱=π×22×3=12π,v圆锥=×π32×4=12π,所以v圆柱 : v圆锥=1 : 1.
4.一个铅笔头的形状如图所示,是由一个圆柱和一个圆锥组合而成的立体图形。如果圆柱的高和圆锥的高都是2厘米,铅笔头的体积是12.56立方厘米,请求出这个铅笔的底面积。
(即求圆柱的底面积,图中数据单位为厘米,π取3.14)
解:设圆柱的底面积为s,则v1+v2=2s+×2s=12.56,解得s=4.71平方厘米。
5.一卷铜版纸是一个长50厘米的空心圆柱,内直径为6厘米,外直径为10厘米,圆柱这种铜版纸的厚度为0.4毫米,那么这卷铜版纸展开后长度有多少米?(π取3.14)
解:v=π×5232)×50=800π立方厘米,设展开后铜版纸的长度为x厘米,则展开后的体积是50x×0.04=2x立方厘米,所以2x=800π,解得x=1256厘米=12.
56米。
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