第八讲概率进阶。
模块。一、古典概率模型：
在投硬币的试验中，我们在试验之前不能确定是正面朝上还是反面朝上，但可以确定只会出现其中一种情况，这样的试验叫作随机试验。正面朝上和反面朝上发生的可能性是相同的，我们称它为等可能事件。
概率的古典定义：
如果一个试验满足两条：
1）试验只有有限个基本结果；
2）试验的玫瑰基本结果出现的可能性是一样的；
这样的试验称为古典试验。
对于古典试验中的事件a，它的概率的定义为：，其中n表示该实验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件a包含的试验基本结果数。
生活中有一些事情发生是不确定的（如：明天会下雨），这样的事件叫作不确定事件，概率是0到1之间的一个数；有一些事情是一定会发生的（如太阳从东方升起），这样的事件叫作必然事件，概率为1；有些事情是一定不会发生的（如掷骰子掷出7点），这样的事件叫作不可能事件，概率为0.
例1．在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球，从口袋中任取一个球，请问：
1）这个球是红球的概率是多少？
2）这个球是黄球或者黑球的概率是多少？
3）这个球是绿球的概率是多少？不是绿球的概率又是多少？
解：（1）；（2）；（3）0；1；
例2．有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张，那么这2张扑克牌花色相同的概率是 ；这2张扑克牌花色不同的概率是 。
解：从8张牌中任意取出2张的种类有种，取出的牌花色相同的情况有4种，所以花色相同的概率是；花色不同的概率。
模块。二、几何概率模型：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何模型。
几何模型的特点有下面两个：
1）无限性：试验中所有可能性出现的基本事件（结果）有无限多个；
2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
例3．小明在玩飞镖， 的镖盘如图所示，投掷对应区域得到对应的分数，小明投掷到镖盘每一点的概率一样，10分对应的圆直径为2，每向外一层则对应的圆的直径加2，投掷一镖后，假设小明没有脱靶，1）小明得到10分的概率是多少？
2）小明得到的分数大于7分小于10分的概率是多少？
3）小明最多得9分的概率是多少？
解：（1）整个靶盘的半径为6，面积为36π，10分区域的半径为1，面积为π，所以；
2）大于7分小于10分的区域是一个圆环，面积为9ππ=8π，所以；
3）最多得9分的概率是。
例4．用下图中两个均匀转盘进行“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出了红色，另一个转出蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1分，否则小明得1分，这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使游戏对双方公平呢？
解：若（1）盘为红色且（2）盘为蓝色，此时的可能为=，若（1）盘为蓝色且（2）盘为红色，此时的可能为=，所以配成紫色的概率为，而配不成紫色的概率为1=，这个游戏不公平。
若要公平：有如下几种方法：
1．换两块板子，在每块板上涂红色的占一半，涂蓝色的占一半；
2．改变得分比例，若配成紫色这小刚得8分；若配不成紫色，小明得17分；
3．轮流坐庄，如约定共进行10轮转盘，前5轮，配成紫色小刚得1分，否则小明得1分；
后5轮，配成紫色小明得1分，否则小刚得1分；
模块。三、综合问题：
相关性事件：事件a（或b）是否发生对事件b（或a）发生的概率没有影响，这样的六个事件叫作相互独立事件；
互斥事件：事件a与事件b不能同时发生，这样的六个事件叫作互斥事件，也叫做互不相容事件；
对立事件：特别地如果事件a和b中必有一个发生，则称事件a和事件b为对立事件。
概率中的加乘原理：
加法原理：互斥事件a和b中至少有一个发生的概率等于a发生的概率加b发生的概率，记为，特别地，对立事件a和b中至少有一个发生的概率为。
乘法原理：相互独立事件a和b同时发生的概率等于a发生的概率乘b发生的概率，记为。
例5．在某次考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束时，最容易出现。
个人优秀。解：甲、乙、丙三人优秀的概率分别为0.5，0.4，0.2，那么他们不是优秀的概率分别为0.5，0.6，0.8，如果恰好1人优秀则概率为。
如果恰好2人优秀则概率为。
如果恰好3人优秀则概率为；
若无人优秀，则概率为，所以最容易出现的是恰好1人优秀。
例6．用血清甲胎蛋白法诊断肝癌：如果患者患有肝癌，那么诊断出肝癌的概率为0.95，如果患者没有患肝癌，那么诊断出不是肝癌的概率为0.
9，假设人群中肝癌患病率为0.0004，现在李强在体检中被诊断为患有肝癌，那么他实际患有肝癌的概率是结果保留3位小数）
解：如果李一个人患有肝癌，那么此时他被诊断出的患有肝癌的概率为0.0004×0.
95=0.00038，被诊断出没有患肝癌的概率为0.0004×0.
05=0.00002；
如果一个人没有患肝癌，那么他被诊断出患有肝癌的概率为0.9996×0.1=0.
09996，被诊断出没有患肝癌的概率为0.9996×0.9=0.
89964，所以诊断出患有肝癌的人中确实患有肝癌的占0.00038，而没有患肝癌的占0.09996，所以李强实际患肝癌的概率为0.
00038÷(0.00038+0.09996)=0.
004.
随堂测试。1．分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？
解：先后掷2次骰子，有6×6=36种可能，其中点数之和为6的有+1，共5种情况，所以此时概率为；
而点数之积为6的有×1，共4种情况，此时的概率为。
2．一辆肇事车撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌号是有五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑中随机输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入车牌号恰好正是肇事车牌号的可能性是。
解：概率为。
3．如果飞镖随意的投向下图所示正方形格点的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是用分数表示）
解：整个木板的面积是6×6=36，阴影部分的面积是5+(1)=7.5，所以恰好落在阴影部分的概率是。
4．转动如图所示的均匀转盘两次，每次指针都指向一个数字，两次所指的数字之和大于9，游戏者a获胜，否则游戏者b获胜，你认为这个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公平，你愿意作游戏者a还是游戏者b？为什么？
解：两次的数字和有6×6=36种可能，两个数字之和最小是2，最大是12，
它们所有的可能数分别是。
所以两次数字和大于9的只有6种可能，而小于等于9的有30种可能，显然不公平，如果作为游戏者，当然应该选择作为游戏者b。
5．甲、乙、丙3人射箭，射中的概率分别为，，，现3人各射一次，则只有一人射中的概率是 。
解：甲、乙、丙3人射箭，射中的概率分别为，，；射不中的概率分别为，于是恰好只有一人射中的概率是。
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