(一) 容斥原理。
包含与排除问题也叫重叠问题，它实际上是一种集合方面的问题。解答这类问题的主要根据是容斥原理。
1.容斥原理一：
设a、b是两类有重叠部分的量（如图）. 如果a对应的量为a , b对应的量为b , a 与b重叠部分对应的量为ab,那么这两类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a +b —ab.
2.容斥原理二：
设a,b,c是三类有重叠的部分的量，如果a对应的量为a，b对应的量为b ,c对应的量为c , a与b重叠部分对应的量为ab. b与c重叠部分对应的置为bc,c与a重叠部分对应的量为ca,a、b、c三部分重叠部分对应的量为abc,那么，这三类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc
例1:在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个？
例2：六年级一班有45名同学，每人都参加体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，游泳、篮球都报者有12人。问三项都报者有多少人？
例3：某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加；语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
例4某班同学参加升学考试。得满分人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多是多少人？最少是多少人？
例5：向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的[',altimg': w':
16', h': 43'}]其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的[',altimg': w':
16', h': 43'}]多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例6 ***出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对， 第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
1)第2题对第1题不对有几个人？
2)两题都不対的有几人？
练习】1.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人。不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问，仅会打羽毛球的有多少人？
2.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2个频道，有34个人看过8个频道，11人两个频道都看过。问：两个频道都没有看过的有多少人？
3. —次数学小测验只有两道题。结果全班有10人全对，第一题有25 人作对。第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？
4.育才学校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都參加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的有多少人？
5.在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？ z
6.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没有划船也没有爬山，他们游览了长廊。问：既爬山又划船的同学有多少人？
应用经验归纳法。
有些数学竞赛题直接解答有困难，我们可以从该竞赛的几个简单而特殊的情况入手去分析、归纳出一般规律、并在这一规律的指导下解决问题。这种解题方法叫经验归纳法。
例1：在操场上划50条直线，他们最多会有多少个交点？
例2：求两个多位数99……9×99……9乘积的各位数字之和。
1994个9 1994个9
练习。1.111…1×999…..9上面这个算式的乘积里有多少个奇数？
20个1 20个9
2.甲、乙、丙三个杯子中各装了一些水，乙杯中的水量等于甲、丙杯中的水量的平均数。如果给丙杯中增加15毫升的水，那么，甲杯中的水量等于乙、丙两杯中的平均数。
问：甲、乙两杯中的水量哪一个多呢？多多少毫升呢？
六年级容斥原理练习卷姓名
1 六1班同学有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人两种球都喜欢，问全班参加运动的有多少人？2 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者回跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人，问会跳舞的有多少人？3 六年级期末考试，语文得100分的有15人...
六年级奥数题 容斥原理 A
十七容斥原理 1 年级班姓名得分 一 填空题。1.一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是 全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文 数学两种课外书都借的有人。2.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上 阴影是图形的重叠部分...
六年级奥数 容斥原理问题
容斥原理问题 1 有100种赤贫。其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是 a 43,25 b 32,25 c32,15 d 43,11 解 根据容斥原理最小值68 43 100 11 最大值就是含铁的有43种 2 在多元智能大赛的决赛中只有三道题。已知...