十七容斥原理(1)
年级班姓名得分
一、填空题。
1.一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有人。
2.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米。
3.在1~100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有个。
4.某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师为人。
5.六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，问两样都不会的有人。
6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个。
7.在1至10000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有个。
8.某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有人。
9.分母是1001的最简真分数有个。
10.在100个学生中，**爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好**，又爱好体育的人最少有人，最多有人。
二、解答题。
11.某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人，选修乙这门课有的35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三科均选的有24人。问三科均未选的人数？
12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。
13.如图所示，a、b、c分别代表面积为的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18,且a与b,b与c,c与a公共部分的面积分别是,求a、b、c三个图形公共部分(阴影部分)的面积。
14.分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和。答案。
从图中可以看出全班45人，借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。
将长方形和正文形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图形盖住的图形面积为(平方厘米).
在1到100这100个自然数中，5的倍数有20个，7的倍数有14个，既是5的倍数又是7的倍数有2个，故5的倍数或7的倍数的个数是20+14-2=32.
从图中可以看出：懂俄语的人数(即阴影部分)等于总人数减去只懂英语的人数，即100-(75-20)=45(人)
所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)
在1到10000中，能被5整除的有(个),能被7整除的有(个),能被35整除的有(个).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(个).从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(个).
1~10000中完全平方数有100个(因为1002=10000),完全立方数有21个(因为213<10000<223),完全六次方数有4个(因为46<10000<56)
故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有100+21-4=117个；从而既不是完全平方数，又不是完全立方数的数有10000-117=9883(个).
如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.
1~1001中，有7的倍数(个);有11的倍数(个),有13的倍数(个);有711=77的倍数(个),有713=91的倍数(个),有1113=143的倍数(个).有1001的倍数1个。
由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的数有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说，分母为1001的最简分数有720个。
如图，当100人都是或者**爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).
当所有的**爱好者都是**爱好者时，这两者都爱好的人数最大可为56人。
11. 如图，选甲乙而不选丙的有a=29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b=28-
24=4(人),选乙丙而不选甲的有c=26-24=2(人), 仅选了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),仅选了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少选了一科的人数是：甲+d+c+e=45(人),故三门均未选的人数为50-45=5(人).
12. 由第9题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数和真分数(a与1001互质)是成对出现的，故上述720个真分数可以分成360对，每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.
所以所有小于1001且与1001互质的数之和为3601001=360360.
13. 设阴影部分的面积是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.
14. 因为385=5711,故在1~385这385个自然数中，5的倍数有。
个),7的倍数有(个),11的倍数有(个57=35的倍数有(个),511=55的倍数有(个),711=77的倍数有=5(个),385的倍数有1个。
由容斥原理知，在1~385中能被或11整除的数有77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),而互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).
如果有一个真分数为，则必还有另一个真分数，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1120=120.
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