明思教育四年级奥数专题七容斥原理

明思教育四年级奥数专题七---容斥原理。

姓名。在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： (其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下：

表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．图示如下：表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：

，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题。

类、、类、类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：

例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、**、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、**、陶艺、跳绳。用圆a、圆b分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示___

例 2】四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生名。

例 3】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

巩固】芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？

巩固】四(二)班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有人，写完数学作业的有人，语文数学都没写完的有人．

问语文数学都写完的有多少人？

只写完语文作业的有多少人？

巩固】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。

例 4】如图，圆a表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆b表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数是。

例 5】学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有名学生．

例 6】某班共有人，参加美术小组的有人，参加**小组的有人，有人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加**小组的有多少人？

巩固】四年级一班有人，其中人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？

巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

例 7】全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有___人。

例 8】某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？

例 9】对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人．两项都会的有人，两项都不会的有人．这个班一共有多少人？

巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？

例 10】在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？

例 11】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？

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