数学广角——植树问题（三）
教学内容】人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》四年级下册《数学广角》例3及相关练习。
教材分析】植树问题》是人教版四年级下册的内容，教材将植树问题分为几个层次：两端都种、两端不种、封闭图形的植树问题。本课时是在学习了**段上植树的情况后进行的封闭图形上的植树问题，其实封闭图形上的植树问题就是一端种一端不种的问题。
在教学中要结合前面的两种情况，使得内容完整有条理。同时向学生渗透复杂问题从简单入手的思想，使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。
学情分析】学生在学习本节课内容之前，已经充分掌握例1关于“植树问题”两端都要栽和例2两端都不栽的内容。但由于本节课的封闭图形是一个图形，与前两节的线段不同，所以学生会觉得有难度。而且四年级学生还是以形象思维为主导，所以在本节课采用数形结合的方法，让学生在动手的过程中发现模型，建立模型。
设计理念】以学生为主体，在新知识的教授中应充分地利用学生已有的知识进行迁移。因此，本节课从复习两端都种入手，引出封闭图形的种树问题，让学生通过自主探索、小组交流等猜测棵数和间隔数的关系，再通过画图、填表探索，验证，归纳出棵数=间隔数，紧接着是练习、应用，使学生将知识进行内化。
教学目标】1.经历探索封闭图形上植树问题的解决方法的过程，渗透数形结合思想，掌握解决封闭图形上植树问题的方法。
2.通过合作讨论，经历探索、检验，获得运用已有知识解决新问题的体会，感受数学知识和方法的内在联系，培养学生自主探索、迁移类推以及解决简单实际问题的能力。
3.让学生在自主探索、合作交流中体验成功的愉悦，进一步树立其对学习数学的自信心，，发展对数学的积极情感，并体会到数学**于生活，应用于生活。
教学重点】让学生掌握解决封闭图形上植树问题的方法。
教学难点】探索发现封闭图上棵数与间隔数之间的关系。
课前准备】多**课件、封闭图形模型。
教学过程】一、复习引入。
1．直接引出课题：前面两节课，我们学了植树问题的哪两种情况，谁来说一说？
两端都种和两端都不种，板书），今天我们继续来学习有关植树的问题，齐读课题。
2.过渡：先来看一看这段小路是属于哪种情况，在一段长32米的小路一侧种树，每隔2米种一棵，最多可以种多少棵？（应该是两端都种。）
生：32÷2＋1＝17（棵）（课件演示）
小结：最多种多少棵，就是两端都种，棵数=间隔数+1。
设计意图：复习植树问题的前两种情况，特别是两端都种，为下面的教学做好铺垫。】
二、引出封闭图形，感知模型。
师：同学们来看一看现有4条和刚刚情况一样的小路，现在我们把这4条小路围成一个正方形，大家一起仔细地看看发生了什么变化。你发现了什么？
（课件出示：把4条的小路围成正方形，角上的树重叠变色）
师：这个正方形的一周一共可以种多少棵树？在练习本上做一做，并且想一个办法验证一下，你的方法对不对。验证完，在小组里交流一下自己的想法。
设计意图：巧妙地四条小路围成封闭图形，引出问题】
预设：生1：17×4＝68（棵），因为每边都可以放17个，所以4边一共可以放68棵。
生2：17×2+15×2＝64（棵）
生3：17-1=16 16×4＝64（棵）
生4：17×4－4＝64（棵）
生5：（16-1）×4+4＝64（棵）
师：到底是68棵还是64棵，要知道哪个答案是对的，怎么办？
反馈：你是怎么想的？（先把学生的几种方法都展示出来，再讲评每一种方法）
师：你能解释一下你是怎么想的吗？ （16是间隔数）
设计意图：本环节中课件的运用能有效地帮助学生理解算法，特别是对于学困生很有帮助，有利于激发学生**欲望。】
回顾：刚才我们这几种方法解决了问题，我们知道两端都种是：棵数=间隔数+1，两端不种是：棵数=间隔数-1，那正方形一周的间隔数和种树的棵数有什么关系呢？ 大家来猜测一下。
生：棵数=间隔数？？
三、探索规律，建模应用。
1.探索。1）绕着正方形的一周种树，棵数与间隔总数到底有什么关系？请同学动手画一画，写一写，想一想。
2）一周的间隔总数=总棵数。
间隔数：16×4=64（个）=64（棵）
3）小结：其实在正方形这样的封闭图形上种树：棵数=间隔数。我们来看看黑板，想一想，我们在解决植树问题时，要求的棵数都跟什么有关？也就是说，我们要求棵数只要先求出间隔数。
设计意图：先猜测，再通过画图、填表去验证猜想，得到模型，渗透化繁为简、数形结合的数学思想。】
2．应用：1）棋盘问题：围棋盘的最外层每边能放19个棋子，最外层一共可以摆放多少棋子？
2）其实，生活中很多像正方形棋盘这种封闭图形上的植树问题：比如给正三角形花坛摆放一盆盆的花。试着求这个封闭图形的外层摆花的总数 （课件出示），并检验。
每边4盆，一共要多少盆？
反馈：你是怎么算的？（结合图说明算式的意思）
预设：生会运用：棵数=间隔数。
生：（4－1）×3＝9（盆。
3）像圆形这种曲线图形的植树问题你会解决吗？圆坛一周全长16米，如果沿着圆坛一圈每隔2米放一盆花，一共需要几盆花？
交流评价：一共种几棵？你是怎么想的？
小结：花盆总数=间隔总数。
4）小结：其实在所有封闭图形上，都具有：总盆数=间隔总数这样的关系。所以我们要求花盆总数，可以先求出总间隔数。
3.提升：演示由圆拉成直线的过程，得出封闭图形的植树问题其实是直线上一端种一端不种的植树问题。
设计意图：由正方形拓展到其他封闭图形，既有利于学生对模型的理解内化，又有利于巩固和提升。】
四、实践巩固。
1．一个长方形水池周长40米，在水池四周每隔5米种一棵树，一共要种多少棵树？
2.有一个的圆形滑冰场，如果沿着这个滑冰场每隔15米安装一盏灯，一共要装10盏灯，这个圆形滑冰场的一圈的长度是多少米？
3． 48名学生在操场上做游戏。大家围成正方形，每边人数相等。四个顶点都有人， 每边上有（ ）个间隔，每边各有（ ）名学生。
a．12 b．13 c．10
4．拓展练习：一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？
设计意图：练习针对性强，有基础题，也有逆向思考的练习题，既巩固了新知识，又体会到数学在生活中的应用，培养了应用数学的意识。】
5．小结。师：通过今天这节课的学习，你有什么收获？
五、板书：
植树问题（三）
17×4－4＝64（棵。
（16－1）×4+4＝64（棵）
17－1）×4＝64（棵）
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