因式分解是进行代数式恒等变形的重要方法之一，因式分解是在学习整式四则运算之后进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的、便利的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解一元二次方程及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法来进行因式分解，这些方法的学习必须以理解因式分解的概念为前提，所以本节内容的重点是要把因式分解的概念理解透彻、讲解清楚。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对学习北师大版本的八年级的学生已经有了一定的学习与练习，接受起来也较为轻松自如，再者本节还没涉及因式分解的具体方法，所以理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点。
教学目标。知识目标：
1）理解因式分解的概念和意义。
2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智力，进一步训练学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感目标：培养学生独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度，以及同学之间的意识。
可用的教学方法。
1、采用以设疑**的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。
2、把因式分解概念与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——释疑——总结——运用为主要教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。
3、在课堂教学中，引导学生体会知识产生发展的过程，坚持启发式教学，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分利用我校四步八环节的教学模式体现学生学习的主动性原则。
4、在充分尊重教材的前提下，融教材练习、做一做、想一想于教学过程中，增设由浅入深、内容各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。
教学过程安排。
一、提出问题，创设情境。
问题：比一比，看谁算得快？
1)若a=101,b=99,则a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000
3)若x=-3,则20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0
二、观察分析，**新知。
1)请每题想得最快的几个同学谈思路，通过分析比较得出最佳解题方法。
2)观察：a2-b2=(a+b)(a-b) ①的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？
a2-2ab+b2 =(a-b) 220x2+60x=20x(x+3) ③
3)类比小学学过的因数分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。
板书课题： 因式分解。
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
三、独立练习，巩固新知。
练习。1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（x+2）（x-2）=x2-4
x2-4 =（x+2）（x-2）
a2-2ab+b2=（a-b）2
3a（a+2）=3a2+6a
3a2+6a=3a（a+2）
2．因式分解与整式乘法的关系：
因式分解）结合：a2-b2a+b）（a-b）（整式乘法）
说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
小试身手：填一填，并说一说下列变形那些是因式分解，那些是整式的乘法。
1) xy( )2x2y-6xy2 （2）2x2y-6xy2=xy( )
3) 2x( )2x2y-6xy2 （4）2x2y-6xy2=2x( )
四、强化训练，掌握新知：
练习3：把下列各式分解因式：
1)2ax+2ay (2)3mx-6nx (3) x2y+xy2(4) x2+x (5) x2-0.01
让学生上来板演）
五、整理知识，形成结构（即课堂小结）
1．因式分解的概念因式分解是整式中的一种恒等变形。
2．因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。
3．利用2中关系，可以从整式乘法探求因式分解的结果，也可以检验分解因式是否正确。
4．教学中渗透对立统一，以不变应万变的辩证唯物主义的思想方法。
六、布置作业： p94页题。
评价与反馈。
1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。发现问题，及时反馈。
2．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。
3．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。
4．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。
因式分解教学设计
总计三课时。
教学准备。教学目标。
知识与能力。
1．了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式；
2．通过找公因式，培养观察能力．
过程与方法。
1．了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；
2．了解公因式概念和提取公因式的方法；会用提取公因式法分解因式．
情感态度与价值观。
1．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法；
2．培养观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法；
教学重难点。
重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
难点： 识别多项式的公因式．
教学过程。一、 新课导入。
请同学们想一想？993－99能被100整除吗？
解法一：993－99=970299－99
解法二：993－99=99（992－1）
1）已知：x=5，a-b=3，求ax2-bx2的值．
2）已知：a=101，b=99，求a2-b2的值．
你能说说算得快的原因吗？
解：（1） ax2-bx2=x2（a－b）
2） a2-b2=（a＋b）（a－b）
二、新知**。
1、做一做：
计算下列各式：
3x(x-2)= 3x2-6x
m(a+b+c)= ma+mb+mc
(m+4)(m-4)= m2-16
(x-2)2= x2-4x+4
a(a+1)(a-1)= a3-a
根据左面的算式填空：
3x2-6x=( 3x__ x-2__)
ma+mb+mc=(_m_)(a+b+c_)
m2-16=(_m+4)(m-4_)
x2-4x+4=(x-2)2
a3-a=(a)(a+1)(a-1)
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特点？
总结： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
整式乘法因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解。
在am＋bm=m(a+b)中，m叫做多项式各项的公因式．
公因式：即每个单项式都含有的相同的因式．
提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
确定公因式的方法：
1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂．
三、例题分析
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
解：12a4b3+16a2b3c2
4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
4a2b3 (3a2 + 4c2)
提公因式后，另一个因式：
项数应与原多项式的项数一样；
不再含有公因式．
例2 把2ac(b+2c)- b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －b+2c)
(b+2c)(2ac-1)
公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
例3 把－x3＋x2－x分解因式．
解：原式＝－(x3－x2＋x)
＝－x(x2－x＋1)
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
四、当堂训练。
1．（1）9x3y3－12x2y＋18xy3中各项的公因式是 3xy_.
2）5x2－25x的公因式为 5x .
3）－2ab2＋4a2b3的公因式为-2ab2.
4）多项式x2－1与(x－1)2的公因式是x-1．
2．如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是 (x-y)2
3．分解因式。
5．找出下列各多项式的公因式，并尝试将各多项式因式分解．
课后小结。1．分解因式。
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做分解因式，分解因式和整式乘法互为逆运算．
2．确定公因式的方法。
一看系数二看字母三看指数。
3．提公因式法分解因式步骤（分两步）
第一步找出公因式；
第二步提公因式。
4．用提公因式法分解因式应注意的问题。
1）公因式要提尽；
2）某一项全部提出时，这一项除以公因式时的商是1，这个1不能漏掉；
3）多项式的首项取正号．
板书。一、因式分解。
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
二、提公因式法。
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
八年级数学 因式分解
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