八年级数学期末复习习题。
1、将正方形abcd折叠，使顶点a与cd边上的点m重合，折痕交ad于e，交bc于f，边ab折叠后与bc边交于点g（如图）.
1）如果正方形边长为2，m为cd边中点。求：em的长。
2）如果m为cd边的中点，求证：de∶dm∶em=3∶4∶5；
3）如果m为cd边上的任意一点，设ab=2a，问△cmg的周长是否与点m的位置有关？若有关，请把△cmg的周长用含dm的长x的代数式表示；若无关，请说明理由。
2、如图，四边形efgh是△abc内接正方形，bc=27cm，高ad=21cm，求内接正方形efgh的面积。
3、如图，在△abc中，∠c=，p为ab上一点，且点p不与点a重合，过点p作pe⊥ab交ac边于e点，点e不与点c重合，若ab=10，ac=8，设ap的长为，四边形pecb的周长为，试证明：△aep ∽ abc 求与之间的函数关系式。
4．如图，在△abc中，ab=ac=1，点d,e在直线bc上运动．设bd=x, ce=y
l）如果∠bac=300，∠dae=l050，试确定y与x之间的函数关系式；
2）如果∠bac=α,dae=β,当α, 满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．
5、已知：如图，四边形abcd是菱形，∠a=60°，直线ef经过点c，分别。
交ab、ad的延长线于e、f两点，连接ed、fb相交于点h．
1) 如果菱形的边长是3，df=2，求be的长；
2) 除△aef外，△bec与图中哪一个三角形相似，找出来并证明；
3) 请说明bd=dh﹒de的理由．
6、 “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠aob置于直角坐标系中，边ob在轴上、边oa与函数的图象交于点p，以p为圆心、以2op为半径作弧交图象于点r．分别过点p和r作轴和轴的平行线，两直线相交于点m ，连接om得到∠mob，则∠mob=∠aob．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
1）设、，求直线om对应的函数表达式（用含的代数式表示）．
2）分别过点p和r作轴和轴的平行线，两直线相交于点q．请说明q点在直线om上，并据此证明∠mob=∠aob．
3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
7、在△abc中，ab=ac=2，∠a=90°，取一块含45°角的直角三角形尺。
将直角顶点放在斜边bc边的中点o处，顺时针方向旋转（如图1）；使90°角的两边。
与rt△abc的两边ab，ac分别相交于点e，f（如图2），设be=，cf=．
求与的函数解析式，并写出的取值范围；
将三角尺绕o点旋转的过程中，△oef的形状如何？请证明你的结论；
若将直角三角形尺45°角的顶点放在斜边bc边的中点o处，顺时针方向旋转（如图3）其它条件不变．
1) 试写出与的函数解析式，以及的取值范围；
2) 将三角尺绕o点旋转（图4）的过程中，△oef是否能成为等腰三角形？若能，求出△oef为等腰三角形时的值；若不能，请说明理由．
8、如图，正方形abcd在边长为5cm，用一块三角板，使它的一直角边始终经过点a，直角顶点e在bc上移动，另一直角边交cd于点f，如果be＝x cm，cf＝y cm．
试用x的代数式表示y（不需要写出x的范围）．
9、如图△abc中，d、e是ac上的三等分点，过d、e作df∥ab，eh∥ab分别交bc于f、h，连ah交df于k．
1）求的值；
2）求的值；
3）求的值．
10、如图在平面直角坐标系中，已知直角梯形oabc的顶点分别是o（0，0），点a（9，0），b（6，4），c（0，4）．点p从点c沿c—b—a运动，速度为每秒2个单位，点q从a向o点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．两点同时出发，设运动的时间是t秒．(10分)
1）点p和点q 谁先到达终点？到达终点时t的值是多少？
2）当t取何值时，直线pq∥ab ？并写出此时点ｐ的坐标．（写出解答过程）
3）是否存在符合题意的t的值，使直角梯形oabc被直线pq分成面积相等的两个部分？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．
4）**：当t取何值时，直线pq⊥ab ?（只要直接写出答案，不需写出计算过程）．
图图 ２（备用图 ３（备用。
11、操作与**：
1）如图，在正方形abcd中，ab=2，将一块足够大的三角板的直角顶点p放在正方形的中心o处，将三角板绕o点旋转，三角板的两直角边分别交边ab、bc于点e、f.
试猜想pe、pf之间的大小关系，并证明你的结论；
求四边形pebf的面积。
2）现将直角顶点p移至对角线bd上其他任意一点，pe、pf之间的大小关系是否改变？
并说明理由。若bp的长为，试用含有的代数式表示四边形pebf的面积s.
3）如果将（2）中正方形abcd改为矩形abcd，其中 ab=2，ad=之间的大小关系是否改变？如果不变，请说明理由；如果改变，请直接写出它们之间的关系。
12、已知：矩形abcd中，ab=2，ad=1.将矩形沿直线l对折，折痕为ef，（点f在边ab上）使点a落在边dc上，设点是点a落在边dc上的对应点。
1）当ae=时，求的长度；
2）如图，当时，求的长度；
3）当af=时，求的长度。
13、如图，梯形abcd中．ab∥cd．且ab=2cd，e,f分别是ab，bc的中点。ef与bd相交于点m．
(1)求证：△edm∽△fbm；
(2)若db=9，求bm
14、如图：已知△abc中，ab=5，bc=3，ac=4，pq∥ab，p点在ac上(与a、c不重合)，q在bc上．
1) 当△pqc的面积与四边形pabq的面积相等时，求cp的长．
2)当△pqc的周长与四边形pabq的周长相等时，求cp的长．
3)试问：在ab上是否存在一点m，使得△pqm为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出pq的长．
15、在△abc中，ab＝4，ac＝3，点d在ac上，且ad＝2，在ab上找一点e，问：当ae等于多长时，△ade与原三角形相似。。
16、请阅读下面的材料，并回答所提出的问题。
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：如图，△abc中，ad是角平分线，求证：
分析：要证，一般只要证bd、dc与ab、ac或bd、ab与dc、ac所在的三角形相似。现在b、d、c在一直线上，△abd与△adc不相似，需要考虑用别的方法换比。
在比例式中，ac恰是bd、dc、ab的第四比例项，所以考虑过c作ce∥ad，交ba的延长线于e，从而得到bd、dc、ab的第四比例项ae，这样，证明就可以转化为证ae=ac。
证明：过c作ce∥da，交ba的延长线于e。
完成以下证明过程）
用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图，△abc中，ad是角平分线，ab=5cm，ac=4em，bc=7cm。
求：bd的长。 abcd
17、如图，△abc中，ab＝ac，ad是中线，p是ad上一点，过c作cf∥ab，延长bp交ac于e，交cf于f。
求证：18、等腰△abc，ab=ac=８，bac=120°，p为bc的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点p，三角板绕p点旋转．
1）如图a，当三角板的两边分别交ab、ac于点e、f时．求证：△bpe～△cfp；
2）操作：将三角板绕点p旋转到图b情形时，三角板的两边分别交ba的延长线、边ac于点e、f．
**１：△bpe与△cfp还相似吗？（只需写出结论）
**２：连结ef，△bpe与△pfe是否相似？请说明理由；
设ef=m，△epf的面积为s，试用m的代数式表示s．
19.如图，p是矩形abcd的边cd上的一个动点，且p不与c、d重合，bq⊥ap于点q，已知ad=6cm,ab=8cm，设ap=x(cm),bq=y(cm).
1)求y与x之间的函数解析式并求自变量x的取值范围；
2）是否存在点p，使bq=2ap。若存在，求出ap的长；若不存在，说明理由。
20、如图正方形abcd的边长为2，ae=eb，线段mn的两端点分别在cb、cd上滑动，且mn=1，当cm为何值时△aed与以m、n、c为顶点的三角形相似？
21、已知：如图，△abc，∠c=900，ac=4，bc=3，ab=5。pq∥ab，点p在ac上（与点a、c不重合），点q在bc上。
试问：在ab上是否存在点m，使得pqm为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出pq的长。
22、已知：平行四边形abcd，e是ba延长线上一点，ce与ad、bd交于g、f，求证：。
23、如图，矩形abcd中，ch⊥bd，垂足为h，p点是ad上的一个动点（p与a、d不重合），cp与bd交于e点。已知ch＝，dh∶cd＝5∶13，设ap＝，四边形abep的面积为。（1）求bd的长；（2）用含的代数式表示。
24．如图，⊿abc是等边三角形，点d,e分别在bc,ac上，且bd=ce,ad与be相交于点f.
1)试说明⊿abd≌⊿bce.
2)⊿aef与⊿abe相似吗？说说你的理由。
3)bd2=ad·df吗？请说明理由。
25、如图，已知，在△abc中，ba=bc=20㎝，ac=30㎝,点p从a点出发，沿ab以4㎝/s的速度向点b运动；同时点q从c点出发，沿ca以3㎝/s的速度向a点运动，设运动时间为x，1）当x为何值时，pq∥bc；
2）当s△bcq∶s△abc=1∶3时，求s△bpq∶s△abc的值；
3）△apq能否与△cqb相似，若能，求出ap的长，若不能，请说明理由。
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