§4.5 相似三角形。
教学目标。一)教学知识点。
1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似。
2.能根据相似比进行计算。
二)能力训练要求。
1.能根据定义判断两个三角形是否相似,训练学生的判断能力。
2.能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力。
三)情感与价值观要求。
通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系。
教学重点。相似三角形的定义及运用。
教学难点。根据定义求线段长或角的度数。
教学方法。类比讨论法。
教学流程:一、读一读:
一)学习目标: 1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似。
2.能根据相似比进行计算。
二)自学指导:
1、自学内容:课本p127~129内容。
2、自学时间:8分钟。
3、自学方法:独立看书、思考对重点和疑难问题做出标记。
4、自学要求:要求看懂课文知识,然后做试一试。
5.自学重点:探索相似三角形的性质,并解题。
二、试一试:学生先动手。
1.请你填一填。
1)如果两个三角形的相似比为1,那么这两个三角形___
2)若△abc与△a′b′c′相似,一组对应边的长为ab=3 cm,a′b′=4 cm,那么△a′b′c′与△abc的相似比是___
3)若△abc的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△a′b′c′的最小边长为12 cm,那么△a′b′c′的最大边长是___
4)已知△abc的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△abc∽△a′b′c′,那么 △a′b′c′的形状是___又知△a′b′c′的最大边长为20 cm,那么 △a′b′c′的面积为___
5)△abc∽△a′b′c′,如果∠a=55°,∠b=100°,则∠c′的度数等于
2.想一想。
如果△abc∽△def,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?
3.议一议。
1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?
2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?
3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?
三,讲一讲:
1.相似三角形的定义及记法。
师]因为相似三角形是相似多边形中的一类,因此,相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出,大家可以吗?
生]可以。三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形(similar ********s).如△abc与△def相似,记作。
abc∽△def
其中对应顶点要写在对应位置,如a与d,b与e,c与f相对应。ab∶de等于相似比。
师]知道了相似三角形的定义,下面我们根据定义来做一些判断。
2.想一想。
如果△abc∽△def,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?
生]由前面相似多边形的性质可知,对应角应相等,对应边应成比例。
所以∠a=∠d、∠b=∠e、∠c=∠f.
3.议一议。
投影片(§4.5 a)
1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?
2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?
3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?
师]请大家互相讨论。
生]解:(1)两个全等三角形一定相似。
因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以两个全等三角形一定相似。
2)两个直角三角形不一定相似。
因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
因为两个等腰直角三角形rt△abc和rt△def中,∠c=∠f=90°,则∠a=∠b=∠d=∠e=45°,所以有∠a=∠d,∠b=∠e,∠c=∠f.
再设△abc中ac=b,△def中df=a,则。
ac=bc=b,ab=b
df=ef=a,de=a
所以两个等腰直角三角形一定相似。
3)两个等腰三角形不一定相似。
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰三角形不一定相似。
两个等边三角形一定相似。
因为等边三角形的各边都相等,各角都等于60度,因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例,所以它们一定相似。
师]由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似。
两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
四.练一练:
1.如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20 m,在这个草坪的图纸上,这条边长5 cm,其他两边的长都是3.5 cm,求该草坪其他两边的实际长度。
2. 如图,已知△abc∽△ade,ae=50 cm,ec=30 cm,bc=70 cm,∠bac=45°,∠acb=40°,求。
(1)∠aed和∠ade的度数;
2)de的长。
3.在下面的两**形中,各有两个相似三角形,试确定x,y,m,n的值。
4.等腰直角三角形abc与等腰直角三角形a′b′c′相似,相似比为3∶1,已知斜边ab=5 cm,求△a′b′c′斜边a′b′上的高。
五、记一记。
1.相似三角形的定义:各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.相似三角形的性质:那么它们的对应角相等,对应边成比例。
课后反思:4.6.1 探索三角形相似的条件(一)
教学目标。一)教学知识点。
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算。
二)能力训练要求。
1.通过亲身体会得出相似三角形的判定方法,培养学生的动手能力;
2.利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明,训练学生的灵活运用能力。
三)情感与价值观要求。
1.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力,并能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
2.通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法,进一步领悟类比的思想方法。
教学重点。相似三角形的判定方法以及推导过程,并会用判定方法来证明和计算。
教学难点。判定方法的运用。
教学方法。探索——总结——运用法。
教学流程:一、读一读:
一)学习目标:
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算。
二)自学指导:
1、自学内容:课本p132~134内容。
2、自学时间:8分钟。
3、自学方法:独立看书、思考对重点和疑难问题做出标记。
4、自学要求:要求看懂课文知识,然后做试一试。
5.自学重点:利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明。
二、试一试:
1. (1)画一个△abc,使得∠bac=60°,与同伴交流,你们所画的三角形相似吗?
2)与同伴合作,一人画△abc,另一人画△a′b′c′,使得∠a和∠a′都等于给定的∠α,b和∠b′都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠c与∠c′相等吗?对应边的比相等吗?这样的两个三角形相似吗?
改变∠α、的大小,再试一试。
从这两个小题中,大家能得出什么?
定理1: 对应相等的两个三角形相似。
2. 如图,d、e分别是△abc边ab、ac上的点,de∥bc.
1)图中有哪些相等的角?
2)找出图中的相似三角形,并说明理由;
3)写出三组成比例的线段。
三.讲一讲:
师]在三角形中有六个元素,即三个角和三条边,要进行相似的判断,就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件,两个三角形就相似,而在判断两个三角形全等时,也是讨论边、角关系的。下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法,然后进行类比,好吗?
生]好。全等三角形的判定方法有:asa,aas,sas,sss,直角三角形除此之外再加hl.
师]那么,相似三角形应该如何判断呢?
1.做一做。
投影片(§4.6.1 a)
1)画一个△abc,使得∠bac=60°,与同伴交流,你们所画的三角形相似吗?
2)与同伴合作,一人画△abc,另一人画△a′b′c′,使得∠a和∠a′都等于给定的∠α,b和∠b′都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠c与∠c′相等吗?对应边的比相等吗?这样的两个三角形相似吗?
改变∠α、的大小,再试一试。
师]请大家按照要求动手画图,然后进行交流。
生]在(1)中,只有一对角相等,其他角和边没有确定,因此所画的三角形不相似。
根据(2)中的要求画出的三角形中,∠c与∠c′相等,对应边有,根据相似三角形的定义,这两个三角形相似。
改变∠α、的大小,这个结论还不变。
师]大家的结论都是如此吗?
生]是。师]从这两个小题中,大家能得出什么?
生](1)题告诉我们,只满足一对角相等不能判定两个三角形相似。
从(2)中我们可知,如果两个三角形中有两对角对应相等,那么这两个三角形相似。
师]其他同学同意吗?
生]同意。师]经过大家的探索,我们得出了判定方法1:
两角对应相等的两个三角形相似。
师]下面我们进行运用。
四.练一练:
1.(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似?为什么?
2)顶角相等的两个等腰三角形是否相似?为什么?
2. 已知△abc与△a′b′c′中,∠b=∠b′=75°,∠c=50°,∠a′=55°,这两个三角形相似吗?为什么?
3. 如图4—6—7,长梯ab斜靠在墙壁上,梯脚b距墙80 cm,梯上点d距墙70 cm,量得bd长55 cm,求梯子的长。
4.如图。
ad⊥bc于d,be⊥ac于e,ad、be相交于f,则图中相似三角形共有几对?它们分别是哪些?为什么?
五、记一记。
相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似。
课后反思:4.6.2 探索三角形相似的条件(二)
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