2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十二章。
第二节作轴对称图形。
一、 教学内容：
1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质。
3. 线段的垂直平分线的性质及判定。
4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线。
5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。
二、 知识要点：
1. 基本概念。
1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质：
1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。
轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）
3. 线段的垂直平分线的性质及判定。
1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如图①，若pc是线段ab的垂直平分线（ac＝bc，pc⊥ab），则pa＝pb
2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图②，若pa＝pb，则点p**段ab的垂直平分线上。
4. 尺规作图。
1）如何作轴对称图形。
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点。
2）作线段的垂直平分线。
分别以点a、b为圆心，以大于ab的长为半径作弧，两弧交于c、d两点，② 作直线cd。
cd就是线段ab的垂直平分线。
5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为。
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为。
三、 重点难点：
1. 重点：①轴对称图形的性质；②线段垂直平分线的性质及判定；③关于坐标轴对称的点的坐标特点。
2. 难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。
考点分析】中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质，以及用轴对称、平移等知识设计图案。 试题的难度较小，以基础题为主，题型以填空题、选择题为主，也有简单的作图题。
典型例题】例1. 如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？
（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？
分析：每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。 要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。
解：不是。 有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。
评析：看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。
例2. 如图所示，c是线段ab的垂直平分线上的一点，垂足为d，则下列结论中正确的有（ ）
①ad＝bd； ②ac＝bc； ③a＝∠b； ④acd＝∠bcd；
∠adc＝∠bdc＝90°
a. 2个 b. 3个 c. 4个 d. 5个。
分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△adc≌△bdc可得到③和④。
解：d评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。
例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。
分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。
解：（－2，3），（1，－2），（2，－4），（0，2）关于x轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（2，4），（0，－2）；关于y轴对称的点的坐标分别为（2，3），（1，－2），（2，－4），（0，2）。
评析：点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。
例4. （2024年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：
如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：
1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点p），试求x的取值范围。
2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点p的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点m与点a的距离（用x表示）。
分析：由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形，也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm，那么由长方形的总长可得0＜5x＜26，即得x的取值范围。 对于第二小题根据图形得ap＝bm＝26－5x，而am＝ap＋pm，pm＝x。
评析：图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°，由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。
例5. 如图所示，已知线段ab，画出线段ab关于直线l的对称图形。
分析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。
解：（1）画出点a关于直线l的对称点a'；
2）画出点b关于直线l的对称点b'：
3）连结a'b'，则线段a'b'即为所求。
评析：画已知图形关于某直线的对称图形：①对称轴是对应点连线的垂直平分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。
例6. 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？
分析：在河岸l上找一点c，使ac＋bc最短，利用轴对称把a点或b点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。
解：设张村为点a，李庄为点b，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。
1）作点b关于直线l的对称点，2）连结，交直线l于点c，点c就是所求的水泵站的位置。 （如图所示）
评析：此类最小值问题解决的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。
依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。
方法总结】本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。 在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。 在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。
模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、 选择题。
1. 下列说法错误的是 （
a. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合。
b. 全等的两个三角形一定关于某直线对称。
c. 轴对称图形的对称轴至少有一条。
d. 线段是轴对称图形。
2. 轴对称图形的对称轴是 （
a. 直线 b. 线段 c. 射线 d. 以上都有可能。
八年级数学轴对称与轴对称图形
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