轴对称及轴对称图形(2)
教学目标。1.学习运用轴对称的定义和性质来作关于某条直线成轴对称的图形。
2.使学生能运用轴对称的定义和性质来解决一些实际问题。
3.通过作图使学生加深对轴对称定义及轴对称性质的理解，培养学生学会运用化归思想，提高分析问题解决问题的能力。
教材分析。教学重点：轴对称的作图。
教学难点：如何运用轴对称的性质解决求几何极值问题。
教学过程。1.复习提问：
1）轴对称的定义；
2）轴对称的性质。
3）画出图3.15（1）关于直线l的轴对称图形。
2. 作图。
例1. 如图3.15(2)，已知：△abc，直线mn，求作△a1b1c1，使△a1b1c1与△abc关于mn对称．
分析：按照轴对称的概念，只要分别过a、b、c向直线mn作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点a、b、c关于直线mn的对称点，连结所得到的这三个点．
作法：（1）作ad⊥mn于d，延长ad至a1使a1d＝ad，得点a的对称点a1
（2）同法作点b、c关于mn的对称点b1、、c1
（3）顺次连结a1、b1、c1
∴△a1b1c1即为所求。
例2.如图3.15(3)，牧童在a处放牛，其家在b处，a、b到河岸的距离分别为ac、bd，问：
（1）牧童从a处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
（2）若ac＝bd，若a到河岸cd的中点的距离为500cm．最短路程是多少？
解：问题可转化为已知直线cd和cd同侧两点a、b，在cd上作一点m，使am+bm最小，先作点a关于cd的对称点a1，再连结a1b，交cd于点m，则点m为所求的点．
证明：（1）在cd上任取一点m1，连结a1m1、a m1、bm1、am
∵直线cd是a、a1的对称轴，m、m1在cd上。
∴am＝a1m，am1＝a1m1
∴am+bm＝am1+bm＝a1b
在△a1 m1b中。
∵a1 m1+bm1＞am+bn即am+bm最小。
（2）由（1）可得am＝am1，a1c＝ac＝bd
∴△a1cm≌△bdm
∴a1m＝bm，cm＝dm
即m为cd中点，且a1b＝2am
∵am＝500m
∴最简路程a1b＝am+bm＝2am＝1000m
例3.已知：如图3.15(4)，△abc是等边三角形，延长bc至d，延长ba到e，使ae＝bd，连结ce、de
求证：ce＝de
证明：延长bd至f，使df＝bc，连结ef
∵ae＝bd， △abc为等边三角形。
∴bf＝be， ∠b＝
∴△bef为等边三角形。
∴△bec≌△fed
∴ce＝de
课堂小结。（1）轴对称和轴对称图形的区别和联系。
区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言。
联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合；二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于原轴成轴对称，反之，把两个成轴对称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形．
（2）解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形（找对称点）,二是关于实际应用问题“求最短路程”．
课堂检测。1.在下列图形中，是轴对称图形的是( )
a、锐角三角形 b、射线 c、线段 d、直角三角形。
2.等边三角形的对称轴有( )
a、一条 b、二条 c、三条 d、一条或三条。
3.下列图形中不是轴对称图形的是( )
a、有两个角相等的三角形 b、有一角为45° 的直角三角形
c、有两个角分别为50°与80°的三角形 d、有两个角分别为55°与65°的三角形。
4.下列说法中，正确的是( )
a、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形。
b、全等三角形是关于某直线对称的。
c、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这直线的两侧。
d、若a、b关于直线mn对称，则ab垂直平分mn
5.如图3.15(5)，已知直线mn与mn同侧两点a、b.
求作：点p，使点p在mn上，且∠apm＝∠bpn
提示：作a关于mn的对称点a1，连结a1b与mn交点即为p
6.如图3.15(6)，△abc中，ab＜ac，ad为△abc的角平分线，p为ad上任意一点．
求证：ac－ab＞pc－pb
7.两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图3.15(7)中，已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分)
1o.如图3.15(8)，点p在∠aob内部，p关于oa、ob的对称点分别为p1，p2，连结p1p2交oa于m，交ob于n，若p1p2＝5cm.求△pmn的周长为多少？
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