对称轴与轴对称
一．解答题（共22小题）
1．问题背景：
如图（a），点a、b在直线l的同侧，要在直线l上找一点c，使ac与bc的距离之和最小，我们可以作出点b关于l的对称点b′，连接a b′与直线l交于点c，则点c即为所求．
1）实践运用：
如图（b），已知，⊙o的直径cd为4，点a 在⊙o 上，∠acd=30°，b 为弧ad 的中点，p为直径cd上一动点，则bp+ap的最小值为。
2）知识拓展：
如图（c），在rt△abc中，ab=10，∠bac=45°，∠bac的平分线交bc于点d，e、f分别是线段ad和ab上的动点，求be+ef的最小值，并写出解答过程．
2．（1）观察发现。
如图（1）：若点a、b在直线m同侧，在直线m上找一点p，使ap+bp的值最小，做法如下：
作点b关于直线m的对称点b′，连接ab′，与直线m的交点就是所求的点p，线段ab′的长度即为ap+bp的最小值．
如图（2）：在等边三角形abc中，ab=2，点e是ab的中点，ad是高，在ad上找一点p，使bp+pe的值最小，做法如下：
作点b关于ad的对称点，恰好与点c重合，连接ce交ad于一点，则这点就是所求的点p，故bp+pe的最小值为。
（2）实践运用。
如图（3）：已知⊙o的直径cd为2，的度数为60°，点b是的中点，在直径cd上作出点p，使bp+ap的值最小，则bp+ap的值最小，则bp+ap的最小值为。
（3）拓展延伸。
如图（4）：点p是四边形abcd内一点，分别在边ab、bc上作出点m，点n，使pm+pn+mn的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的**题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向a、b两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点p，使ap与bp的和最小．他的做法是这样的：
作点b关于直线l的对称点b′．
连接ab′交直线l于点p，则点p为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△abc中，点d、e分别是ab、ac边的中点，bc=6，bc边上的高为4，请你在bc边上确定一点p，使△pde得周长最小．
1）在图中作出点p（保留作图痕迹，不写作法）．
2）请直接写出△pde周长的最小值。
4．（1）观察发现：
如（a）图，若点a，b在直线l同侧，在直线l上找一点p，使ap+bp的值最小．
做法如下：作点b关于直线l的对称点b'，连接ab'，与直线l的交点就是所求的点p．再如（b）图，在等边三角形abc中，ab=2，点e是ab的中点，ad是高，在ad上找一点p，使bp+pe的值最小．
做法如下：作点b关于ad的对称点，恰好与点c重合，连接ce交ad于一点，则这点就是所求的点p，故bp+pe的最小值为。
2）实践运用：
如（c）图，已知⊙o的直径cd为4，∠aod的度数为60°，点b是的中点，在直径cd上找一点p，使bp+ap的值最小，并求bp+ap的最小值．
3）拓展延伸：
如（d）图，在四边形abcd的对角线ac上找一点p，使∠apb=∠apd．保留作图痕迹，不必写出作法．
5．几何模型：
条件：如下图，a、b是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点p，使pa+pb的值最小．
方法：作点a关于直线l的对称点a′，连接a′b交l于点p，则pa+pb=a′b的值最小（不必证明）．
模型应用：1）如图1，正方形abcd的边长为2，e为ab的中点，p是ac上一动点．连接bd，由正方形对称性可知，b与d关于直线ac对称．连接ed交ac于p，则pb+pe的最小值是。
2）如图2，⊙o的半径为2，点a、b、c在⊙o上，oa⊥ob，∠aoc=60°，p是ob上一动点，求pa+pc的最小值；
3）如图3，∠aob=45°，p是∠aob内一点，po=10，q、r分别是oa、ob上的动点，求△pqr周长的最小值．
6．如图，已知平面直角坐标系，a、b两点的坐标分别为a（2，﹣3），b（4，﹣1）．
1）若p（p，0）是x轴上的一个动点，则当p时，△pab的周长最短；
2）若c（a，0），d（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a时，四边形abdc的周长最短；
3）设m，n分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点m（m，0）、n（0，n），使四边形abmn的周长最短？若存在，请求出mn不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到a，b两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．
8．如图所示，在一笔直的公路mn的同一旁有两个新开发区a，b，已知ab=10千米，直线ab与公路mn的夹角∠aon=30°，新开发区b到公路mn的距离bc=3千米．
1）新开发区a到公路mn的距离为。
2）现要在mn上某点p处向新开发区a，b修两条公路pa，pb，使点p到新开发区a，b的距离之和最短．此时pa+pb千米）．
9.如图：1）若把图中小人平移，使点a平移到点b，请你在图中画出平移后的小人；
2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点p处喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点p的位置．
10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形abb1a1的对称轴为y轴．
1）请画出：点a、b关于原点o的对称点a2、b2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；
2）连接a1a2、b1b2（其中a2、b2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段a1a2、b1b2；
3）设线段ab两端点的坐标分别为a（﹣2，4）、b（﹣4，2），连接（1）中a2b2，试问在x轴上是否存在点c，使△a1b1c与△a2b2c的周长之和最小？若存在，求出点c的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．
11．某大型农场拟在公路l旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地a、b的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置c，使a、b两地到加工厂c的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
12．阅读理解。
如图1，△abc中，沿∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠b1a1c的平分线a1b2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠bnanc的平分线anbn+1折叠，点bn与点c重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠bac是△abc的好角．
小丽展示了确定∠bac是△abc的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形abc顶角∠bac的平分线ab1折叠，点b与点c重合；情形二：如图3，沿∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠b1a1c的平分线a1b2折叠，此时点b1与点c重合．
**发现。1）△abc中，∠b=2∠c，经过两次折叠，∠bac是不是△abc的好角填“是”或“不是”）．
2）小丽经过三次折叠发现了∠bac是△abc的好角，请**∠b与∠c（不妨设∠b＞∠c）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠bac是△abc的好角，则∠b与∠c（不妨设∠b＞∠c）之间的等量关系为。
应用提升。3）小丽找到一个三角形，三个角分别为°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
13．如图，△abc中ab=ac，bc=6，，点p从点b出发沿射线ba移动，同时，点q从点c出发沿线段ac的延长线移动，已知点p、q移动的速度相同，pq与直线bc相交于点d．
1）如图①，当点p为ab的中点时，求cd的长；
2）如图②，过点p作直线bc的垂线垂足为e，当点p、q在移动的过程中，线段be、de、cd中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；
14．（2012东城区二模）已知：等边△abc中，点o是边ac，bc的垂直平分线的交点，m，n分别在直线ac，bc上，且∠mon=60°．
1）如图1，当cm=cn时，m、n分别在边ac、bc上时，请写出am、cn、mn三者之间的数量关系；
2）如图2，当cm≠cn时，m、n分别在边ac、bc上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
3）如图3，当点m在边ac上，点n在bc 的延长线上时，请直接写出线段am、cn、mn三者之间的数量关系．
15．如图，线段cd垂直平分线段ab，ca的延长线交bd的延长线于e，cb的延长线交ad的延长线于f，求证：de=df．
16．如图，在△abc和△dcb中，ab=dc，ac=db，ac与db交于点m．求证：
1）△abc≌△dcb；
2）点m在bc的垂直平分线上．
17．如图，△abc的边bc的垂直平分线de交△bac的外角平分线ad于d，e为垂足，df⊥ab于f，且ab＞ac，求证：bf=ac+af．
18．已知△abc的角平分线ap与边bc的垂直平分线pm相交于点p，作pk⊥ab，pl⊥ac，垂足分别是k、l，求证：bk=cl．
19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村a、b的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）
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