专题26 相对相称—对称分析法。
阅读与思考。
当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想。 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.
对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：
1.代数中的对称式。
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式，表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决。
2.几何图形的对称。
几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径。
例题与求解。
例l】如图，菱形abcd的两条对角线分别长6和8，点p是对角线ac上的一个动点，点m、n分别是边ab，bc的中点，则pm+pn的最小值是荆门市中考试题。
解题思路：作m关于ac的对称点，连mn交ac于点p，则pm+pn的值最小。
例2】已知，均为正数，且，求w=的最小值。
（北京市竞赛试题）
解题思路：用代数的方法求w的最小值较繁，的几何意义是以a，b为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出w的最小值。
例3】已知，求证四川省竞赛试题）
解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．
例4】 如图，凸四边形abcd的对角线ac，bd相交于o，且ac⊥bd，已知oa＞oc，ob＞od，求证：bc＋ad＞ab＋cd .
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以ac为对称轴，将部分图形翻折．
例5】如图，矩形abcd中，ab＝20厘米，bc＝10厘米，若在ac、ab上各取一点m，n，使bm＋mn的值最小，求这个最小值北京市竞赛试题）
解题思路：要使bm＋mn的值最小，应该设法将折线bm＋mn拉直，不妨从作出b点关于ac的对称点入手。
能力训练。1.如图，六边形abcdef是轴对称图形，cf所在的直线是它的对称轴。 若∠afc＋∠bcf＝，则∠afe＋∠bcd的大小是武汉市中考试题)
(第1题图第2题图第3题图）
2.如图，矩形纸片abcd中，ab＝2，点e在bc上，且ae＝ec，若将纸片沿ae折叠，点b恰好落在ac上，则ac的长是。
(济南市中考试题)
3. 如图，∠aob＝，p是∠aob内一点，po＝10，q，p分别是oa、ob上的动点，则△pqr周长最小值是。
4. 比大的最小整数是西安交通大学少年班入学试题）
5.如图，已知正方形abcd的边长为3，e在bc上，且be＝2，p在bd上，则pe＋pc的最小值为（ ）
abc． d．
6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有。
a．1个 b．2个c．3个d．4个。
南京市中考试题)
7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）
a．英里 b．16英里 c．17英里 d．18英里。
（美国中学生竞赛试题）
(第5题图第7题图第8题图）
8.如图，等边△abc的边长为2，m为ab中点，p为bc上的点，设pa＋pm的最大值和最小值分别为s和l，则等于（ ）
abcd．
9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知=，求与的值。 （江苏省竞赛试题）
10. 求代数式的最小值。
希望杯”邀请赛试题）
11. 在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km， ．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计。某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
观察计算。1）在方案一中km（用含的式子表示）；
2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算km（用含的式子表示）．
探索归纳。1）① 当时，比较大小：（填“＞”或“＜”
② 当时，比较大小：（填“＞”或“＜”
2）对（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二。
(河北省中考试题)
12．如图，已知平面直角坐标系中，a，b两点的坐标分别为a（2，－3），b（4，－1）
1）若p（，0）是轴上的一个动点，当△pab的周长最短时，求的值；
2）若c（，0），d（，0）是轴上的两个动点，当四边形abdc的周长最短时，求a的值；
3）设m，n分别为轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点m（，0）、n（0，），使四边形abmn的周长最短？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
13.在△abc中，∠bac＝45°，ad⊥bc于d，将△abd沿ab所在的直线折叠，使点d落在点e处；将△acd沿ac所在的直线折叠，使点d落在点f处，分别延长eb、fc使其交于点m．
1）判断四边形aemf的形状，并给予证明；
2）若bd＝1，cd＝2，试求四边形aemf的面积．
(宁夏中考试题)
14. 阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形abcd中，ad＝8cm，ab＝6cm，现有一动点p按下列方式在矩形内运动：它从a点出发，沿着ab边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当p点碰到bc边，沿着bc边夹角为45的方向作直线运动，当p点碰到cd边，再沿着与cd边夹角为45的方向作直线运动…如图1所示，问p点第一次与d点重合前与边相碰几次，p点第一次与d点重合时所经过的路线的总长是多少？
小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形abcd沿直线cd折叠，得到矩形a1b1cd，由轴对称的知识，发现p2p3＝p2e，p1a＝p1e．
(1) p点第一次与d点重合前与边相碰次，p点从a点出发到第一次与d点重合时所经过的路径的总长是 cm．
(2) 进一步**：改变矩形abcd中ad、ab的长，且满足ad＞ab，动点p从a点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形abcd相邻的两边上．若p点第一次与b点重合前与边相碰7次，则ab：ad的值为 ．
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