人教版九年级数学下册第26章反比例函数培优提高典型例题解析。
一、解答题。
1.如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于a，b两点，且点a的坐标为（1，m）．
1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
2）若p是y轴上一点，且满足△abp的面积为6，求点p的坐标．
答案】解：（1）∵一次函数图象过a点，m=1+2，解得m=3，a点坐标为（1，3），又∵反比例函数图象过a点，k=1×3=3，反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．
2）∵，解得或。
b（﹣3，﹣1），设直线与y轴的交点为c（0，2），△abp的面积为6，pc|xb|+pc|xa|=6，pc（1+3）=6，pc=3，p（0，5）或（0，﹣1）．
2.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线ab与x轴、y轴分别交于点a，b，与反比例函数y=（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点e，f．过点e作em⊥y轴于m，过点f作fn⊥x轴于n，直线em与fn交于点c．若（m为大于1的常数）．记△cef的面积为s1， △oef的面积为s2，求的值．（用含m的代数式表示）
答案】解：过点f作fd⊥bo于点d，ew⊥ao于点w，meew=fndf，设e点坐标为：（x，my），则f点坐标为：
（mx，y），△cef的面积为：s1=（mx﹣x）（my﹣y）=（m﹣1）2xy，△oef的面积为：s2=s矩形cnom﹣s1﹣s△meo﹣s△fon，mccn﹣（m﹣1）2xy﹣memo﹣fnno，mxmy﹣（m﹣1）2xy﹣xmy﹣ymx，m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy，（m2﹣1）xy，（m+1）（m﹣1）xy，．
故答案为：．
3.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于a、b两点．
1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．
2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
答案】解：（1）从图象可知：a（2，1）b（﹣1，n），把a的坐标代入反比例函数y=得：
m=2，即反比例函数的解析式是：y=，把b（﹣1，n）的坐标代入反比例函数y=得：n=﹣2，b（﹣1，﹣2），把a、b的坐标代入y=kx+b得：
，解得k=1，b=﹣1，即一次函数的解析式是：y=x﹣1；
2）根据图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
4.如图，一次函数y=k1x+b的图象经过a（0，﹣2），b（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为m（m，4）．
1）求一次函数和反比例函数的表达式；
2）在x轴上是否存在点p，使am⊥mp？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由．
答案】解：（1）把a（0，﹣2），b（1，0）代入y=k1x+b得，解得，所以一次函数解析式为y=2x﹣2；
把m（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，解得m=3，则m点坐标为（3，4），把m（3，4）代入y=得k2=3×4=12，所以反比例函数解析式为y=；
2）存在．a（0，﹣2），b（1，0），m（3，4），ab=，bm==2，pm⊥am，∠bmp=90°，∠oba=∠mbp，rt△oba∽rt△mbp，=，即=，pb=10，op=11，p点坐标为（11，0）．
5.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点a﹙2，5﹚、
c﹙5，n﹚，交y轴于点b，交x轴于点d．
1）求反比例函数和一次函数的表达式；
2）连接oa、oc．求△aoc的面积．
答案】（1）解：将a（-2，-5）代入，得m=-2×（-5）=10.
则反比例函数为y=.
将c（5，n）代入y=得n=2,则c（5,2）.
将a（-2，-5），c（5,2）代入y=kx+b中得解得。
即直线y=x-3.
2）解：直线y=x-3与x轴，y轴的交点分别为d（3,0），b（0，-3），则od=3，ob=3，又因为a（-2，-5），c（5,2）
则s△aoc=s△aob+s△bod+s△doc=×5×3+×3×3+×3×2=15.
6.有这样一个问题：**函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了**．
下面是小东的**过程，请补充完整：
1）函数y=+x的自变量x的取值范围是；
2）下表是y与x的几组对应值．
求m的值；3）如图，在平面直角坐标系xoy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
4）进一步**发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）
答案】解：（1）x≠1，2）令x=4，y=+4=；
m=；3）如图。
4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
7.如图，rt△abc中，o为坐标原点，∠aob=90°，∠b=30°，如果点a在反比例函数（x＞0）的图象上运动，那么点b在哪个图像上运动？
答案】解：分别过a、b作ac⊥y轴于c，bd⊥y轴于d．
设a（a，b）．
点a在反比例函数（x＞0）的图象上，ab=1．
在△oac与△bod中，∠aoc=90°-∠bod=∠obd，∠oca=∠bdo=90°，△oac∽△bod，oc：bd=ac：od=oa：
ob，在rt△aob中，∠aob=90°，∠b=30°，oa：ob=1：，b：
bd=a：od=1：，bd=b，od=a，bdod=3ab=3，又∵点b在第四象限，点b在函数的图象上运动．
8.如图，点a为函数图象上一点，连结oa，交函数的图象于点b，点c是x轴上一点，且ao=ac，求△abc的面积．
答案】解：设点a的坐标为（a，），点b的坐标为（b，），点c是x轴上一点，且ao=ac，点c的坐标是（2a，0），设过点o（0，0），a（a，）的直线的解析式为：y=kx， =ak，解得，k= ，又∵点b（b，）在y= x上， =b，解得，=3或=﹣3（舍去），s△abc=s△aoc﹣s△obc= ﹣18﹣6=12．
9.（2015赤峰）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于c、b两点，过点c作cd⊥x轴，点p是x轴下方直线cd上的一点，且△ocp与△obc相似，求过点p的双曲线解析式．
答案】解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于c、b两点，令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即c（2，0），oc=2，令x=0，可得y=4，即b（0，4），ob=4，如图1，当∠obc=∠cop时，△ocp∽△boc，=，即=，解得cp=1，p（2，﹣1），设过点p的双曲线解析式y=，把p点代入解得k=﹣2，过点p的双曲线解析式y=﹣，如图2，当∠obc=∠cpo时，△ocp∽△cob，在△ocp和△cob中，∴△ocp≌△cob（aas）
cp=bo=4，p（2，﹣4）
设过点p的双曲线解析式y=，把p点代入得﹣4=，解得k=﹣8，过点p的双曲线解析式y=．
综上可得，过点p的双曲线的解析式为y=﹣或y=．
10.如图，在rt△aob中，∠abo=90°，ob=4，ab=8，且反比例函数在第一象限内的图象分别交oa、ab于点c和点d，连结od，若s△bod=4，请回答下列问题：
1）求反比例函数解析式；
2）求c点坐标．
答案】（1）解：∵∠abo=90°，s△bod=4，×k=4，解得k=8，反比例函数解析式为y=；
2）解：∵∠abo=90°，ob=4，ab=8，a点坐标为（4，8），设直线oa的解析式为y=kx，把a（4，8）代入得4k=8，解得k=2，直线oa的解析式为y=2x，解方程组，得或，c在第一象限，c点坐标为（2，4）．
11.如图，在平面直角坐标系中，点o为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于c，d两点，直线ab与坐标轴交于a，b两点，线段oa，oc的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（oa＞oc）．
1）求点a，c的坐标；
2）直线ab与直线cd交于点e，若点e是线段ab的中点，反比例函数y=（k≠0）的图象的一个分支经过点e，求k的值；
3）在（2）的条件下，点m在直线cd上，坐标平面内是否存在点n，使以点b，e，m，n为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点n的坐标；若不存在，请说明理由．
答案】（1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，x1=1，x2=2，oa＞oc，oa=2，oc=1，a（﹣2，0），c（1，0）
2）解：将c（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，直线cd的解析式为y=﹣x+1．
点e为线段ab的中点，a（﹣2，0），b的横坐标为0，点e的横坐标为﹣1．
点e为直线cd上一点，e（﹣1，2）．
将点e（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2=，解得：k=﹣2．
3）解：假设存在，设点m的坐标为（m，﹣m+1），以点b，e，m，n为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
以线段be为边时，∵e（﹣1，2），a（﹣2，0），e为线段ab的中点，b（0，4），be= ab=．
四边形bemn为菱形，em= =be=，解得：m1=，m2=
m（，2+）或（，2﹣），b（0，4），e（﹣1，2），n（﹣，4+）或（，4﹣）；
以线段be为对角线时，mb=me，解得：m3=﹣，m（﹣，b（0，4），e（﹣1，2），n（0﹣1+，4+2﹣），即（，
综上可得：坐标平面内存在点n，使以点b，e，m，n为顶点的四边形是菱形，点n的坐标为（﹣，4+）、4﹣）或（，
二、综合题。
12.如图，一次函数（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0，x＜0）的图象交于点a（-3，1）和点c，与y轴交于点b，△aob的面积是6．
1）求一次函数与反比例函数的解析式；
2）求 sin∠abo的值；
3）当x＜0时，比较与的大小．
答案】（1）解：把a(－3，1)代入得m＝xy＝－3×1＝－3，反比例函数的解析式为。
过点a做ad⊥y轴于d，a(－3，1)，∴ad＝3.
s△aob＝ ad，∴ 3＝6，ob＝4.
b(0，4).
把a(－3，1).b(0，4)代入得，.
一次函数的解析式为y＝x＋4
2）解：∵在rt△abd中，ad＝3，bd＝bo－od＝4－1＝3
∠abo＝45°
sin∠abo＝sin45°＝
3）解：由得， .
c(－1，3).
当x<－3或－1当－3
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