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数学：操作设计型问题专题复习（苏科版九年级）
考点导航】操作设计型问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题的难度往往不大，但容易失分．
解决这类问题，需要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换。注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力．如果学生没有一定的数学实践活动和丰富的数学经验，这类题是很难解决的．
答题锦囊】例1 某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点a、b、c上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
思路点拨】第（1）小题只要作出△abc的外接圆（分别作ab、bc的垂直平分线，得到交点o，再以o为圆心，以oa长为半径画圆）即可；第（2）小题分别作出△abc的ab、bc、ca边的中线，并延长加倍中线得到平行四边形的第四个顶点；第（3）小题通过计算圆和平行四边形的面积可以得出结论。
[标准解答]
1）作图工具不限，只要点a、b、c在同一圆上；
（2）作图工具不限，只要点a、b、c在同一平行四边形顶点上；
（3）∵r=ob==，s⊙o=r2=≈16.75，又s平行四边形。
2s△abc=2××42×sin60=8
∵s⊙o > s平行四边形
∴选择建圆形花坛面积较大。
例２ 如图4，在网格中有一个四边形图案．
1)请你画出此图案绕点d顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点a的对应点依次为a1、a2、a3，求四边形aa1a2a3的面积；
3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
思路点拨】本题考查旋转变换，将四边形图案绕点旋转900，1800，2700的图案后形成的新图案是一个边长为8的正方形，四边形aa1a2a3也是一个正方形。若设原图中rt△abc的三边分别为a、b、c，根据面积公式可知，，即ab2+bc2=ac2
标准解答](1)如图5，正确画出图案。
2)如图，错误！嵌入对象无效。=错误！嵌入对象无效。-4
故四边形似aa1a2a3的面积为34．
(3)结论：ab2+bc2=ac2或勾股定理的文字叙述。
例3 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图6甲（虚线表示折痕）．除图6甲外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图6①至③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲表示相同的操作）．
甲乙。思路点拨】
这是一道动手操作且其具有一定开放性的试题，首先要弄懂题意，根据能够“配对”得到四组全等的图形的要求，进行画图，如有困难，也可动手操作。
标准解答]例4 如图7所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形的边长为2，是的中点，按将菱形剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．
1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；
2）判断所拼成的三种图形的面积（）、周长（）的大小关系（用“=”或“＜”连接）：
面积关系是。
周长关系是。
思路点拨】第（1）小题是一道拼图题，拼图的结果分别是直角三角形、等腰梯形、矩形，要注意根据这三种图形的定义，并且在菱形斜网格中拼图，图形的顶点均落在格点上．第（2）小题是计算题，拼图不改变图形的面积，根据菱形的性质求出所拼图形的周长．
标准解答]．
例5 如图8（1），是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片abc和cˊdˊeˊ叠放在一起（点c与cˊ重合）．
1）操作：固定△abc，将△cˊdˊeˊ绕点c顺时针旋转30°得到△cde，连结ad、be，ce的延长线交ab于点f，如图（2）．
**：在图8（2）中，线段be与ad之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
2）操作：将图8（2）中的△cde，**段cf上沿着cf方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△cde设为△pqr，如图8（3）．
**：设△pqr移动的时间为xs，△pqr与△afc重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
3）操作：固定图8（1）中△cˊdˊeˊ，将△abc移动，使顶点c落在cˊeˊ的中点，边bc交dˊeˊ于点m，边a c与dˊeˊ交于点n，设∠a c cˊ=α30°<α90°），如图8（4）．
**：在图8（4）中，线段cˊn·eˊm的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出cˊn·eˊm的值；如果有变化，请说明理由．
思路点拨】这是一道探索性命题．解题时要审清题意，注意运用图形的旋转变换，探索图形的变化规律．第（１）小题中△bce≌△acd；第（２）小题中△pqr与△afc重叠部分的面积等于△pqr的面积减去△ｓqr的面积．第（３）小题中△eˊm c∽△ccˊn．
[标准解答]
1）be=ad．证明如下：
△abc与△dce都是等边三角形，
∠acb =∠dce=∠60°，ca=cb，ce=cd，∠bce =∠acd．
△bce≌△acd．
be = ad．
2）设rq与ac交于点t，rp与ac交于点s，在△qtc中，∠tcq=30°，∠rqp=60°，∠qtc=30°．∴qtc =∠tcq．
qt=cq=x．∴rt=3－x．
∠rts +∠r=90°，∴rst =90°．
y=－（0≤x≤3）；
3）cˊn·eˊm不变．证明如下：
∠ac b=60°，∠mc eˊ+∠nccˊ=120°．
∠cn cˊ +nccˊ=120°，∠mc eˊ=∠cn cˊ．
∠ eˊ=∠cˊ，△eˊm c∽△ccˊn．
cˊn·eˊm= cˊc·eˊc=．
中考**】学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图9(1)～9(4)）：
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行．
a．①②b．②③cd．①④
将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是( )
如图10，已知线段a，h作等腰△abc，使ab＝ac，且bc＝a，bc边上的高ad＝h. 张红的作法是：（1）作线段bc＝a；（2）作线段bc的垂直平分线mn，mn与bc相交于点d；（3）在直线mn上截取线段h；（4）连结ab，ac，△abc为所求的等腰三角形。
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是( )
a. （1）； b. （2）； c. （3d. （4）.
如图11，小明想用皮尺测最池塘a、b间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习数学有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达a、b两点的点o，连接oa、ob，分别在oa、ob上取中点c、d，连接cd，并测得cd = a，由此他即知道a、b距离是 （
a．； b．2a ；c．ad．3a.
下列说法正确的有（ ）
1）如图12（a），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；
2）如图12（b），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；
3）如图12（c），两次使用丁字尺（所在直线垂直平分线段）可以找到圆形工件的圆心；
4）如图12（d），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从点看点时仰角的度数．
a．1个； b．2个； c．3个； d．4个。
当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图13，已知矩形abcd，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点a所在直线为折痕，折叠纸片，使点b落在ad上，折痕与bc交于e；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以e所在直线为折痕，使点a落在bc上，折痕ef交ad于f．则∠afe =(
a．60 ； b．67.5； c．72d．75.
将圆柱形纸筒沿母线剪开铺平，得到一个矩形（如图14）．如果将这个纸筒沿线路剪开铺平，得到的图形是（ ）
a．平行四边形； b．矩形c．三角形d．半圆。
如图15是5×5的正方形网络，以点d、e为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△abc全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
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