7、圆复习研究。
杨雪松珙县孝儿职中。
单元复习目标。
本章是初中数学最核心的内容之一，主要题型有选择题、填空题、解答题、作图题。主要知识点有圆的有关概念，圆的基本性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆的有关公式和计算。在复习过程中，要重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，重视基本定理与基本图形的转化与化归的思想的运用。
能用运动变换的观点解决圆中的动态型问题，会用各种数学思想方法解决结论不确定的探索型问题，以培养发散思维能力。证明圆中的综合题时，应掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法，学会在复杂的“背景”下分析出隐含的基本图形，从而将综合分解为若干个基本题，以利问题的解决。
新教材索引。
华东师大版教材：九年级（下）第28章圆；
知识回顾。1、知识脉络。
2、基础知识。
1）掌握圆的有关性质和计算。
1 弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等。
2 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
4 圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
2）点与圆的位置关系。
1 设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
2 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆。 一个三角形有且只有一个外接圆。
3 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。
3）直线与圆的位置关系。
1 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
切线的性质：与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线。
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
4 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
5 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
6 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
4）圆与圆的位置关系。
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离。
两圆外切。两圆相交。
两圆内切。两圆内含。
2 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴。
由对称性知：两圆相切，连心线经过切点。 两圆相交，连心线垂直平分公共弦。
3 两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
4 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。
5）与圆有关的计算。
1 弧长公式： 扇形面积公式：
其中为圆心角的度数，为半径）
2 圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积。
3 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
4 圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积。
3、典型例题。
例1 如图，ac为⊙o 的直径，b、d、e都是⊙o上的点，求∠a+∠b +∠c的度数。
分析】由ac为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结ae，这样将∠cad（∠a）、∠c放在了△aec中，而∠b与∠ead是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．
解连结ae
ac是⊙o的直径 ∴∠aec=90o
∴∠cad +∠ead+∠c =90o
b=∠ead
∠cad +∠b+∠c =90o
说明】这里通过将∠b转化为∠ead，从而使原本没有联系的∠a、∠b 、∠c都在 △aec中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90o．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．
例2 △abc中，ac＝6，bc＝8，∠c=90o，以点c为圆心，ca为半径的圆与ab交于点d，求ad的长．
分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作ch⊥ab，这只要求出ah的长就能得出ad的长．
解作ch⊥ab，垂足为h
∠c=90o，ac＝6，bc＝8 ∴ab=10
∠c=90o， ch⊥ab
又∵ac＝6， ab=10 ∴ ah＝3.6
ch⊥ab ∴ad=2ah ∴ad=7.2
答：ad的长为7.2．
说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键。定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握。
例3 (１如图，△abc内接于⊙o，ab为直径，∠cae=∠b，试说明ae与⊙o相切于点a．
(２)在（１）中，若ab为非直径的弦，∠cae=∠b，ae还与⊙o相切于点a吗？请说明理由．
分析】第(１)小题中，因为ab为直径，只要再说明∠bae为直角即可．第(２)小题中，ab为非直径的弦，但可以转化为第(１)小题的情形．
解】 (ab是⊙o的直径 ∴∠c=90o
∠bac＋∠b=90o
又∵∠cae=∠bbac＋∠cae =90o
即∠bae =90o ∴ae与⊙o相切于点a．
连结ao并延长交⊙o于d，连结cd.
ad是⊙o的直径 ∴∠acd=90o
∠d＋∠cad=90o
又∵∠d=∠bb＋∠cad=90o
又∵∠cae =∠bcae＋∠cad=90o
即∠ead =90o ∴ae仍然与⊙o相切于点a．
说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况，大胆提出猜想，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要。
例4 如图，已知⊙o的直径ab垂直于弦cd于e，连结ad、bd、oc、od，且od＝5．
（1）若，求cd的长．
（2）若 ∠ado：∠edo＝4：1，求扇形oac（阴影部分）的面积（结果保留）．
分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求cd的长就转化为求de的长。第（2）小题求扇形oac的面积其关键是求∠aod的度数，从而转化为求∠aod的大小．
解】（1ab是⊙o的直径，od＝5
adb＝90°，ab＝10
又∵在rt△abd中，
adb＝90°，ab⊥cd
∴ bd2=be·ab cd= 2de
ab＝10
be在rt△ebd中，由勾股定理得。
答：cd的长为．
（2）∵ab是⊙o的直径，ab⊥cd
bad＝∠cdb，∠aoc＝∠aod
∵ao＝do ∴∠bad＝∠ado
cdb＝∠ado
设∠ado＝4k，则∠cdb＝4k
由∠ado：∠edo＝4：1，则∠edo＝k
ado＋∠edo＋∠edb＝90°
得k＝10°
aod＝180°－（oad＋∠ado）＝100°
aoc＝∠aod＝100°
则。答：扇形oac的面积为。
说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求de长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．
例5 半径为2.5的⊙o中，直径ab的不同侧有定点c和动点p．已知bc ：ca=4 :
3，点p在半圆ab上运动（不与a、b两点重合），过点c作cp的垂线，与pb的延长线交于点q.
l)当点p与点c关于ab对称时，求cq的长；
2)当点p运动到半圆ab的中点时，求cq的长；
3) 当点p运动到什么位置时，cq取到最大值？求此时cq的长．
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