第4章锐角三角函数自测卷。
90分钟 100分) 姓名：
一、选择题（每题3分，共30分）
1．图1，p是角α的边oa上一点，点p的坐标为（12,5），则tanα等于（ ）
a. b. c. d.
图1图2图3
2．在直角三角形abc中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角a的正弦值、余弦值和正切值（ ）
a.都扩大为原来的2倍 b.都缩小为原来的。
c.都不变d.无法确定。
3．已知在rt△abc中，∠c=90°，ac=bc，点d在ac上，∠cbd=
30°，则的值为（ ）
ab. c.－1d.不能确定。
4．菱形中较长的对角线的长与较短的对角线的长的比为∶1，则菱形的四个角分别为（ ）
a° b°
c° d.不能确定。
5．如图2，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
a.5 m b.6 m c.7 m d.8 m
6．已知∠a，∠b是rt△abc的两个锐角，则方程tana·x－2x+tanb=0( )
a.有两个不相等的实数根 b.有两个相等的实数根。
c.没有实数根d.根的情况无法确定。
7．如图3，一艘轮船由海平面上a地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达b地，再由b地向北偏西20°的方向行驶20 n mile到达c地，则a，c两地相距（ ）
a.30 n mile b.40 n mile c.20 n mile d.10 n mile
8．（2012，四川广安，有改动）如图4，某水库堤坝横断面迎水坡ab的坡度i=1∶，堤坝高bc＝50 m，则迎水坡面ab的长度是（ ）
a.100 m b.100 m c.150 md.50m
图4图5图6
9．如图5所示，学校的保管室里，有一架5 m长的梯子oc斜靠在墙上，此时梯子oc与地面所成的角为45°，如果梯子底端o固定不动，顶端c靠到对面墙上的c′点，此时梯子oc′与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度ab为（ ）
a.（+1）m b.（+m
c.3md.（+1）m
10．（2013,广州）如图6所示，四边形abcd是梯形，ad∥bc，ca是∠bcd的平分线，且ab⊥ac，ab=4，ad=6，则tanb等于（ ）
a．2b.2 cd.5
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60
12．在△abc中，∠a,∠b都是锐角，且(cosa－)+1－tanb|=0,则∠c
13．若tanα=5,则。
14．如图7，孔明同学背着一桶水，从山脚a出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因春季受旱缺水的王奶奶家（b处），ab=80 m，则孔明从a到b上升的高度bc是___m.
图7 图8图9图10
15．（2014，厦门莲花中学模拟）如图8，△abc中，∠b=30°，a=15°，若bc边上的高为2，则bc
16．在△abc中，∠a，∠b都是锐角，且sina=,tanb=,ab=10,则△abc的面积为。
17．全市动员修海堤抗台风，某海堤的横断面是梯形，如图9所示，迎水坡bc的坡角为30°，背水坡ad的坡度i=1∶1.2，堤顶宽dc为3 m，堤高df为10 m，则堤底宽ab约为___m.（精确到0.
1 m)
18．(2013，荆门)如图10，在rt△abc中，∠acb=90°，d是ab的中点，过d点作ab的垂线交ac于点e，bc=6，sina=，则de
三、解答题（19题4分，20题6分，24题8分，其余每题7分，共46分）
19．（1）计算： +1－|－2sin60°·tan60°；
2)计算：sin30°+cos45°+sin60°·tan45°.
20．（2013，昭通）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛p处**小亮与爸爸在湖中划船（如图11所示）．小船从p处出发，沿北偏东60°方向划行200 m到a处，接着向正南方向划行一段时间到b处．在b处小亮观测到妈妈所在的p处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1 m）？
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
21．小明将一副三角尺如图12所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知cd=2，求ac的长。
图1222．（2013,贵阳）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔ae的高度，如图13，已知塔基ab的高为4 m，他在c处测得塔基顶端b的仰角为30°，然后沿ac方向走5 m到达d点，又测得塔顶e的仰角为50°．（人的身高忽略不计）
1）求ac的距离；（结果保留根号）
图132）求塔高ae．（参考数据：tan50°≈1.2，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，≈1.73，≈1.41，结果保留整数）
23．如图14，一艘小船从码头a出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛b处后，又沿着北偏西22°方向航行了10 n mile到达c处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离。（≈1.4,≈1.
7,结果保留整数）
图1424．某过街天桥的截面图为梯形，如图15所示，其中天桥斜面cd的坡度i=1∶，cd的长为10 m，天桥另一斜面ab的坡角∠abg=.
1）求过街天桥斜面ab的坡度；
2）求de的长；
3）若决定对该过街天桥进行改建，使ab斜面的坡度变缓，将其。
45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为af，试计算此改建需占路面的宽度fb.（结果精确到0.01 m）
图1525．阅读下列材料，并解决后面的问题。
如图16所示，在锐角三角形abc中，设∠bac，∠b，∠c的对边分别是a,b,c.过点a作ad⊥bc于点d，则sinb=,sinc=，即ad=c·sinb,ad=b·sinc.于是c·sinb=b·sinc,即，同理有所以。
即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
图161）在锐角三角形中，∠a，∠b，∠c的对边分别是a，b，c，若已知三个元素，a，b，∠a，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，∠b，∠c.请你按照下列步骤填空，完成求解过程。
第一步：由a，b，∠a求出∠b；
第二步：由∠a，∠b求出∠c；
第三步：由求出c；
2）一货轮在c处测得灯塔a在货轮北偏西30°方向上，随后货轮以28.4 n mile/h的速度按北偏东45°的方向航行，0.5 h后到达b处， 此时又测得灯塔a在货轮的北偏西70°方向上（如图17所示），利用上面的结论求此时货轮到灯塔a的距离ab.
（结果精确到0.1 n mile，参考数据：sin40°≈0.
643,sin65°≈0.906,sin70°≈0.940,sin75°≈0.
966)
图17参***及点拨。
一、1．c 2．c 3．c
4．c 点拨：设较大内角为α，则tan =,所以=60°,所以α=120°.
5．a6．b 点拨：因为b2－4ac=（－2）2－4·tana·tanb=4－4×1=0，故方程有两个相等的实数根。
7．c 8．a 9．a
10．b 点拨：过点d作ab的平行线交ac于点e，交bc于点f，如答图1，易知四边形abfd是平行四边形，∴bf=ad=6，df=ab=4，∵ab⊥ac,df∥ab，∴df⊥ac，又∵ca是∠bcd的平分线，∴cd=cf，∠dca=∠acb，又∵ad∥bc，∴∠dac=∠acb，∴∠dac=∠dca.∴dc=da=6，∴cf=6，∴bc=bf+cf=12.
易求得ac=8,∴tanb= =2.
答图1二、11．1 点拨：cos245°+tan30°·sin60°=+1.
13． 点拨：原式===
15．－2 点拨：设bc边上的高为ad，由题意知，ad=2，∠acd=∠b+∠bac=45°，∴tan 45°= 1,∴cd=2,tan b= =解得bc=2－2.
16． 点拨：在该题中，并没有直接指明△abc是直角三角形，所以需先判断其为直角三角形，然后才能利用解直角三角形的知识解题。
18． 点拨：由题易证△aed∽△abc，在△abc中，bc=6,sin a=，可求得ab=10，ac=8.利用相似三角形的性质可求得de的长。
三、19．解：（1）原式=2+2+1－2××=2+2+1－3=2.
2）原式=++1=++
20．解：过p作pc⊥ab于c，如答图2，在rt△apc中，ap=200 m，∠acp=，∠pac=60°.∴pc=200×sin60°=200×=100（m）.
∵在rt△pbc中，sin=,∴pb=≈≈288（m）.
答：这时小亮与妈妈相距约288 m.
学年湘教版九年级数学上册过关自测卷 第5章 含答案
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