第14章勾股定理。
14.1勾股定理
1. 直角三角形三边的关系
2. 直角三角形的判定
阅读材料勾股定理史话
美丽的勾股树。
14.2勾股定理的应用
小结。复习题
课题学习勾股定理的“无字证明”
第14章勾股定理。
还记得2024年在北京召开的国际数学家大会（ｉｃ吗？在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．
那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
14.1 勾股定理。
1. 直角三角形三边的关系。
本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．
试一试。测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．
图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形p、 q的面积之和等于大正方形r的面积．即。
ac＋ｂｃ图14.1.1
这说明，在等腰直角三角形ａｂｃ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
试一试。观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形p的面积平方厘米；
正方形q的面积平方厘米；
每一小方格表示1平方厘米）
图14.1.2
正方形r的面积平方厘米．
我们发现，正方形p、 q、 r的面积之间的关系是。
由此，我们得出直角三角形ａｂｃ的三边的长度之间存在关系。
做一做。在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．
每一小格代表1平方厘米）
图14.1.3
概括。数学上可以说明： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a＋b＝c，这种关系我们称为勾股定理．
勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子ac斜靠在墙上，ｂｃ长为2.16米，求梯子上端a到墙的底边的垂直距离ａｂ．精确到0.01米）
图14.1.4
解如图14.1.4，在rt△ａｂ中，ｃ＝米， ａ米，根据勾股定理可得。
米）．答： 梯子上端a到墙的底边的垂直距离 ａｂ约为4.96米．
练习。1. 在rt△ａｂ中， ａc， ｂa， ac＝b， ∠b＝90°．
1） 已知a＝6， b＝10， 求c；
2） 已知a＝24， c＝25， 求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
试一试。剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．
大正方形的面积可以表示为又可以表示为。
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
图14.1.5图14.1.6
用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．
读一读。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.
7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2024年国际数学家大会（icm2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．
图14.1.7图14.1.8
例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点a、 b之间的距离，一个观测者在点c设桩，使三角形ａｂｃ恰好为直角三角形．通过测量，得到ac长160米，ｂｃ长128米．问从点a穿过湖到点b有多远？
图14.1.9
解如图14.1.9，在直角三角形ａｂｃ中，ac＝１６米， ｂ米，根据勾股定理可得。
ｂ＝＝96（米）．
答： 从点a穿过湖到点b有96米．
练习。1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ａｂｃd的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点a到宝藏埋藏点b的直线距离是多少千米？
t': span', c': r': r_7'}]
第1题第2题）
2. 直角三角形的判定。
古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
图14.1.10
试一试。试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
1） a＝3， b＝4， c＝5；
2） a＝4， b＝6， c＝8；
3） a＝6， b＝8， c＝10．
可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形．
在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a＋b＝c，而组（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：
如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．
古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．
例3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：
解因为25＝２４所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．
练习。1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．
2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形？
习题14.1
1. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．
第1题）2. 已知△ａｂ中，∠b＝９０ac＝１３cm， ｂcm，求ａｂ的长．
. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．
. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．
第４题第5题）
5. 如图，已知直角三角形ａｂｃ的三边分别为，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．
6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
1） a＝25， b＝20， c＝15；（2） a＝1， b＝2， c＝3；
3） a＝40， b＝9， c＝40；（4） a∶b∶c＝5∶12∶13．
阅读材料。勾股定理史话。
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据《周髀算经》记载，商高（公元前2024年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了．
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．
勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多．2024年卢米斯（ loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任**詹姆士·阿·加菲尔德（james abram garfield， 1831～1881）的证法．
美丽的勾股树。
你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢？
你知道这是如何画出来的吗？仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树！动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．
14.2 勾股定理的应用。
勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．
例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ａｂ为4cm，ｂｃ是上底面的直径．一只蚂蚁从点a出发，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最短路程．
图14.2.1
分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 ａｂd，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线ac之长．（精确到０.
０cm）
图14.2.2
解如图14.2.2，在rt△ａｂ中，ｂｃ底面周长的一半＝１０cm， ac＝＝
229≈１０cm）（勾股定理）．
答： 最短路程约为１０．cm．
例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
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