第12章数的开方。
12.1平方根与立方根。
1.平方根
2.立方根。
12.2实数与数轴
阅读材料为什么说2不是有理数
的算法。小结。
复习题 要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
1. 平方根。
本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm2，求这个正方形的边长．
容易知道，这个正方形的边长是5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
概括。如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）．
在上述问题中，因为5＝25，所以5是25的一个平方根．
又因为所以－５也是25的一个平方根．
这就是说，5与－５都是25的平方根．
根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
例1 求100的平方根．
解因为10＝100除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０也可以说，100的平方根是±１０
试一试。1） 144的平方根是什么？
2） 0的平方根是什么？
3）的平方根是什么？
4） －有没有平方根？为什么？
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．
概括。一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第２节），每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－．因此正数a的平方根可以记作±．a称为被开方数．
因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0．通常也记作＝0．
思考。负数有平方根吗？
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．
在例1中，100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±１
例2将下列各数开平方：
解（1） 因为7＝49，所以＝7，因此49的平方根为±７；
在例1、例2中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的．如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）．
例3用计算器求下列各数的算术平方根：
分析用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．
解（1） 在计算器上依次键入。
5 2 ９ 显示结果为23，所以529的算术平方根为。
2） 在计算器上依次键入。
1 2 2 5 ＝，显示结果为 ，所以1225的算术平方根为。
3） 在计算器上依次键入。
4 4 · 8 1 ＝，显示结果为 ，如果要求精确到0.01，那么。
练习。1. 说出下列各数的平方根：
2. 用计算器计算：
1） 676；（2） 27 8784；（3） 4 225 （精确到0.01）．
3. 下列说法正确吗？为什么？如果不正确，那么请你写出正确答案．
1） 0.09的平方根是0.3；
2. 立方根。
问题。现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少？
思考。这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
概括。上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．容易验证，63＝216，除6 以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm．
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cube root）．
试一试。1） 27的立方根是什么？
2） －的立方根是什么？
3） 0的立方根是什么？
请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．
概括。任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个．
数a的立方根，记作，读作“三次根号a”．a称为被开方数，3称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
例4求下列各数的立方根：
解（1） 因为（），所以。
2） 因为（－5）＝－125，所以＝－5．
例5用计算器求下列各数的立方根：
分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－号的输入可以按（－）也可以按－．
解（1） 在计算器上依次键入。
shife 1 3 3 1 =，显示结果为11，所以。
2） 在计算器上依次键入。
shift （－或－） 3 4 3 ＝，显示结果为－７，所以。
3） 在计算器上依次键入。
shift 9 · 2 6 3 ＝，显示结果为如果要求精确到0.01，那么。
练习。1. 求下列各数的立方根：
2. 用计算器计算：
1）；（2）；（3）（精确到0 01）.
习题12.1
1. 求下列各数的平方根：
2. 求下列各数的立方根：
3. 用计算器计算．（精确到0.01）
4. （1）在哪两个整数之间？
2） 3.1＜＜3.2正确吗？
3） 下列四个结论中，正确的是（）．
a. 3.15＜＜3.16 b. 3.16＜＜3.17
c. 3.17＜＜3.18 d. 3.18＜＜3.19
5. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.
62cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？（用计算器计算，结果精确到0.1cm）
12.2 实数与数轴。
做一做。1） 用计算器求；
2） 利用平方关系验算所得的结果．
这里，用计算器求，显示结果为1.414213562，而再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.
999999999，并不是2，只是接近于2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
用计算机计算，你可能会大吃一惊：
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数．
那么，是怎样的数呢？
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如，0.25，＝0.６＝0.
666666666…，0.142857＝0.142857142857142857…．
不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数．
类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数（irrational number）．上面所提到的、、π等都是无理数．
有理数与无理数统称为实数（real number）．
试一试。你能在数轴上找到表示的点吗？
如图12.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
图12.2.1
图12.2..2
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是．利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图12.2.2所示．
概括。数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行．
在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．
例1试估计＋与π的大小关系．
分析用计算器求得。
≈3.14626437，而3.141592654，这样，容易判断 ＋＞
例2计算： π2－│2－3│．（结果精确到0.01）
解用计算器求得。
2－3≈－0.778539072，于是2－3│≈0.778539072，所以2－│2－3│
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