2023年普通高等学校招生全国统一考试。
文科数学。一、选择题。
1）设，，则（ ）
2）是第四象限角，，（
3）已知向量，，则与（ ）
．垂直不垂直也不平行平行且同向平行且反向。
4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（ ）
5）甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（ ）
．种种种种。
6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ）
7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
．充要条件充分而不必要的条件。
．必要而不充分的条件既不充分也不必要的条件。
10）函数的一个单调增区间是（ ）
11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
12）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（ ）
第ⅱ卷。13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为___
14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则。
15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点s，a，b，c，d都在同一个球面上，则该球的体积为。
16）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为___
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分10分）
设锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，．
ⅰ）求b的大小；
ⅱ）若，，求b．
18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
19）（本小题满分12分）
四棱锥中，底面abcd为平行四边形，侧面底面abcd，已知，，，
ⅰ）证明：；
ⅱ）求直线sd与平面sbc所成角的大小．
20）（本小题满分12分）
设函数在及时取得极值．
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
21）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
ⅰ）求，的通项公式；
ⅱ）求数列的前n项和．
22）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于b，d两点，过的直线交椭圆于a，c两点，且，垂足为p．
ⅰ）设p点的坐标为，证明：；
ⅱ）求四边形abcd的面积的最小值．
2023年普通高等学校招生全国统一考试。
文科数学试题（必修＋选修1）参***。
一、选择题。
二、填空题。
三、解答题。
17．解：ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．
ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．18．解：
ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．则．
19．解法一：
1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得．
ⅱ）由（ⅰ）知，依题设，故，由，又，作，垂足为，则平面，连结．为直线与平面所成的角．
所以，直线与平面所成的角为．
解法二：ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，因为，又，所以，．，所以．
与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．，所以，直线与平面所成的角为．
20．解：ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．
即。解得，．
ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，；
当时，；当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得或，因此的取值范围为．
21．解：ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且。
解得，．所以，ⅱ）
－①得，22．证明。
ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．
ⅱ）（当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则，因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．四边形的面积。
当时，上式取等号．
ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
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