2019 全国新课标卷2 文科数学

1．[2014·新课标全国卷ⅱ] 已知集合a＝，b＝，则a∩b＝(

a． b． c． d．

1．b [解析] 因为b＝，所以a∩b＝．

2．[2014·新课标全国卷ⅱ]＝

a．1＋2i b．－1＋2i c．1－2i d．－1－2i

2．b [解析]＝＝1＋2i.

3．[2014·新课标全国卷ⅱ] 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )

a．p是q的充分必要条件。

b．p是q的充分条件，但不是q的必要条件。

c．p是q的必要条件，但不是q的充分条件。

d．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。

3．c [解析] 函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0 ，所以p是q的必要不充分条件．

4．[2014·新课标全国卷ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，a－b|＝，则a·b＝(

a．1 b．2 c．3 d．5

4．a [解析] 由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b＝1.

5． [2014·新课标全国卷ⅱ] 等差数列的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则的前n项和sn＝(

a．n(n＋1) b．n(n－1) c. d.

5．a [解析] 由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，即a1＝2，所以sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．

6．[2014·新课标全国卷ⅱ] 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

图11a. b. c. d.

6．c [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积v＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积v毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)，被切部分的体积v切＝v毛坯－v＝54π－34π＝20π(cm3)，所以＝＝.

7．[2014·新课标全国卷ⅱ] 正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，d为bc中点，则三棱锥a b1dc1的体积为( )

a．3 b. c．1 d.

7．c [解析] 因为d为bc的中点，所以ad⊥bc，故ad⊥平面bcc1b1，且ad＝，所以v三棱锥a b1dc1＝s△b1dc1×ad＝×b1c1×bb1×ad＝××2××＝1.

8．执行如图12所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的s＝(

a．4 b．5 c．6 d．7

图12图12

8．d [解析] 当x＝2，t＝2时，依次可得：m＝1，s＝3，k＝1≤2；m＝2，s＝5，k＝2≤2；m＝2，s＝7，k＝3>2，输出s＝7.

9．[2014·新课标全国卷ⅱ] 设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为( )

a．8 b．7 c．2 d．1

9．b [解析] 作出约束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，zmax＝3＋2×2＝7.

10．[2014·新课标全国卷ⅱ] 设f为抛物线c：y2＝3x的焦点，过f且倾斜角为30°的直线交c于a，b两点，则|ab|＝(

a. b．6 c．12 d．7

10．c [解析] 抛物线的焦点坐标为f，直线ab的斜率k＝tan 30°＝，所以直线ab的方程为y＝x－.由得x2－x＋＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝.所以|ab|＝·x1－x2|＝·12.

11．[2014·新课标全国卷ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞单调递增，则k的取值范围是( )

a．(－2] b．(－1] c．[2，＋∞d．[1，＋∞

11．d [解析] f′(x)＝k－＝，且x>0，由题可知f′(x)≥0，即得kx－1≥0，得x≥(k<0时不满足)，因为函数f(x)在区间(1，＋∞上单调递增，所以≤1，解得k≥1.

12．[2014·新课标全国卷ⅱ] 设点m(x0，1)，若在圆o：x2＋y2＝1上存在点n，使得∠omn＝45°，则x0的取值范围是( )

a. [1，1] b. c. [d.

12．a [解析] 点m(x0，1)在直线y＝1上，而直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切．据题意可设点n(0，1)，如图，则只需∠omn≥45°即可，此时有tan ∠omn＝≥tan 45°，得0<|mn|≤|on|＝1，即0<|x0|≤1，当m位于点(0，1)时，显然在圆上存在点n满足要求，综上可知－1≤x0≤1.

13．[2014·新课标全国卷ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为___

13. [解析] 甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法．若他们选择同一种颜色，则有3种选法，所以其对应的概率p＝＝.

14． [2014·新课标全国卷ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)2sin φcos x的最大值为___

14．1 [解析] f(x)＝sin(x＋φ)2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)其最大值为1.

15．[2014·新课标全国卷ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1

15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.

16．[2014·新课标全国卷ⅱ] 数列满足an＋1＝，a8＝2，则a1

16. [解析] 由题易知a8＝＝2，得a7＝；a7＝＝，得a6＝－1；a6＝＝－1，得a5＝2，于是可知数列具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝.

17．[2014·新课标全国卷ⅱ] 四边形abcd的内角a与c互补，ab＝1，bc＝3，cd＝da＝2.

1)求c和bd；

2)求四边形abcd的面积．

17．解：(1)由题设及余弦定理得。

bd2＝bc2＋cd2－2bc·cdcos c＝13－12cos c，①

bd2＝ab2＋da2－2ab·dacos a＝5＋4cos c．②

由①②得cos c＝，故c＝60°，bd＝.

2)四边形abcd的面积。

s＝ab·dasin a＋bc·cdsin c＝sin 60°＝2.

18．[2014·新课标全国卷ⅱ] 如图13，四棱锥p abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，e为pd的中点．

1)证明：pb∥平面aec；

2)设ap＝1，ad＝，三棱锥p abd的体积v＝，求a到平面pbc的距离．

图1318．解：(1)证明：设bd与ac的交点为o，连接eo.

因为abcd为矩形，所以o为bd的中点．

又e为pd的中点，所以eo∥pb.

eo平面aec，pb平面aec，所以pb∥平面aec.

2)v＝××pa×ab×ad＝ab，由v＝，可得ab＝.

作ah⊥pb交pb于点h.

由题设知bc⊥平面pab，所以bc⊥ah，因为pb∩bc＝b，所以ah⊥平面pbc.

又ah＝＝，所以点a到平面pbc的距离为。

19．[2014·新课标全国卷ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：

图141)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．

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