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2023年普通高等学校招生全国统一考试。
数学（文史类）
本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：每小题5分，共60分。
1、已知集合，则集合中的元素个数为（ ）
a）5 （b）4 （c）3d）2
2、已知点，向量，则向量（ ）
a） （b） （c） （d）
3、已知复数满足，则（ ）
a） （b） （c） （d）
4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
a） （b） （c） （d）
5、已知椭圆e的中心为坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线的焦点重合，a,b是c的准线与e的两个交点，则（ ）
a） （b） （c） （d）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
a）斛 （b）斛 （c）斛 （d）斛。
7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
a） （b） （c）10 （d）12
8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（a） b）c）d）
9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
a）5 （b）6 （c）10 （d）12
10、已知函数，且，则（ ）
a）（b）（c）（d）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则r=( a） b）
c）d）
12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )
a） （b） （c） （d）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、数列中为的前n项和，若，则n
14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 a
15. 若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为。
16.已知p是双曲线的右焦点，p是c左支上一点， ，当△apf周长最小时，该三角形的面积为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）已知分别是△abc内角a,b,c的对边，.
）若a=b，求cosb;
）若b=90°，且， 求△abc的面积。
18. （本小题满分12分）如图四边形abcd为菱形，g为ac与bd交点，be⊥平面abcd，）证明：平面aec⊥平面bed；
）若∠abc=120°，ae⊥ec 三棱锥e-acd的体积为，求该三棱锥的侧面积。
19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：
t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费，和年销售量的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
）根据散点图判断，与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为，根据（）的结果回答下列问题：
）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？
）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆c：交于m，n两点。
）求k的取值范围；
），其中o为坐标原点，求。
21. （本小题满分12分）设函数。（）讨论的导函数的零点的个数；（）证明：当时。
请考生在题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
如图ab是圆o直径，ac是圆o切线，bc交圆o与点e.（）若d为ac中点，求证：de是圆o切线；（）若，求∠acb的大小。
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系xoy中，直线圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。
）求的极坐标方程。
）若直线的极坐标方程为，设的交点为m,n，求△c2mn的面积。
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲。
已知函数。）当时求不等式的解集；
）若图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。
2019全国高考数学文科一卷
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