2023年普通高等学校招生全国统一考试。
一、选择题。
1)设集合u=,则。
a） （b） （c） （d）
答案】d命题意图】本题主要考查集合交并补运算。
解析】2)函数的反函数为。
ab）cd）
答案】b命题意图】本题主要考查反函数的求法。
解析】由原函数反解得，又原函数的值域为，所以函数的反函数为。
3)设向量满足， ,则。
a） （b） （c） （d）
答案】b命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法。
解析】,所以。
4)若变量x，y满足约束条件，则的最小值为。
a）17 （b）14 （c）5d）3
答案】c命题意图】本题主要考查简单的线性规划。
解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值，所以最小值为5.
5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是。
a） （b） （c） （d）
答案】a命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质。
解析】即寻找命题，使，且推不出，逐项验证知可选a.
6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则
a）8b）7c）6d）5
答案】d命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用。
解析】解法一，解得。
解法二：，解得。
7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于。
abcd）答案】c
命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系。
解析】由题意将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍，得，解得，又，令，得。
8)已知直二面角，点，,为垂足，，,为垂。
足，若，则。
a） 2 （b） （c） （d）1
答案】c命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形。
解析】因为是直二面角， ,平面，又，9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有。
a) 12种 (b) 24种 (c) 30种 (d)36种。
答案】b命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力。
解析】第一步选出2人选修课程甲有种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有种选法，根据分步计数原理，有种选法。
10) 设是周期为2的奇函数，当时， ,则。
abcd)
答案】a命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法。 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值。
解析】由是周期为2的奇函数，利用周期性和奇偶性得：
11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=
(a)4 (b) (c)8 (d)
答案】c 命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式。
解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限，设圆心坐标为，则，即，所以由两点间的距离公式可求出。
12)已知平面α截一球面得圆，过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆。若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为。
(a)7b)9 (c)11d)13
答案】d命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质。
解析】如图所示，由圆的面积为4知球心到圆的距离，在中， ,故圆的半径，∴圆的面积为。
第ⅱ卷。注意事项：
1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
3第ⅱ卷共l0小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
(注意：在试卷上作答无效)
13)的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .
答案】0命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质。
解析】由得的系数为，的系数为，所以的系数与的系数之差为0.
14)已知， ,则 .
答案】命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式。 要注意角的范围，进而确定值的符号。
解析】, 则。
15)已知正方体中，e为的中点，则异面直线ae与bc所成角的余弦值为。
答案】命题意图】本题主要考查正方体中异面直线ae与bc所成的角。
解析】取a1b1的中点m连接em，am，ae，则就是异面直线ae与bc所成的角。在中，.
16)已知、分别为双曲线：的左、右焦点，点，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则 .
答案】6命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质。
解析】为的平分线，∴
又点，由双曲线的第一定义得。
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
设等比数列的前n项和为。已知求和。
思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。
解析】设的公比为q,由题设得。
3分。解得或6分。
当时，；当时10分。
18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c.己知。
(ⅰ)求b；
ⅱ）若。思路点拨】第（i）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。
ii）在（i）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。
解析】(i)由正弦定理得3分。
由余弦定理得。
故，因此6分。
ii）8分。
故 12分。
19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立。
(i)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(ii)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。
命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力。
解析】记a表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：
b表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。
c表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
d表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
e表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。
i3分。6分。
ii)d=,p(d)=1-p(c)=1-0.8=0.29分。
p(e12分。
20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
如图，四棱锥中，∥,侧面为等边三角形。
i) 证明：
ii) 求ab与平面sbc所成角的大小。
分析】第（i）问的证明的突破口是利用等边三角形sab这个条件，找出ab的中点e，连结se，de，就做出了解决这个问题的关键辅助线。
ii)本题直接找线面角不易找出，要找到与ab平行的其它线进行转移求解。
命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合。
解法一：(ⅰ取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.
又，故，所以为直角3分。
由， ,得平面，所以。
与两条相交直线、都垂直。
所以平面6分。
另解：由已知易求得，于是。可知，同理可得，又。所以平面6分。
ⅱ)由平面知，平面平面。
作，垂足为，则平面abcd,.
作，垂足为，则。
连结。则。又，故平面，平面平面。……9分。
作，为垂足，则平面。
即到平面的距离为。
由于，所以平面，到平面的距离也为。
设与平面所成的角为，则，.…12分。
解法二：以为原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
设，则、.又设，则。
ⅰ),由得。
故。由得，又由得，即，故3分。
于是，故，又，所以平面6分。
ⅱ)设平面的法向量，则。
又，故9分。
取得，又。故与平面所成的角为12分。
21)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知函数。ⅰ)证明：曲线。
ⅱ）若求a的取值范围。
分析】第(i)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程。
ii)第（ii）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论。
解：（i2分。
由得曲线在x=0处的切线方程为。
由此知曲线在x=0处的切线过点（2，26分。
ii）由得。
i）当时，没有极小值8分。
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