（三角函数、解三角形、数列、函数与导数、解析几何）
三角函数与解三角形。
1.（2007ⅰ）设锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，
ⅰ）求b的大小；
ⅱ）若，，求b。
解：（ⅰ由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得。
ⅱ）根据余弦定理，得。
所以，.2. （2007ⅱ）在 abc中，已知内角a=,边 bc=2,设内角b=x, 周长为y
1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；
2）求y的最大值。
解：（1）的内角和，由得。
应用正弦定理，知。
因为，所以，2）因为。
所以，当，即时，取得最大值。
3．（2008ⅰ）设的内角所对的边长分别为，且，．
ⅰ）求边长；
ⅱ）若的面积，求的周长．
解：（ⅰ依题设得。
ⅱ）因为所以，由s=10得c=5.
应用余弦定理得。
4．（2008ⅱ）在中，，．
ⅰ）求的值；
ⅱ）设，求的面积．
解：（ⅰ由，得，由，得． 2分。
所以． 5分。
ⅱ）由正弦定理得． 8分。
所以的面积． 10分。
5.（ 2009ⅰ) 在△abc中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、c.已知a2-c2=2b,且sinb=4cosasinc,求b.
解：由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosa.
又a2-c2=2b,b≠0,所以b=2ccosa+2.①
由正弦定理得，又由已知得，所以b=4ccosa.②
故由①②解得b=4.
6. (2009ⅱ) 设△abc的内角a、b、c的对边长分别为a、b、c,cos(a-c)+cosb=,b2=ac,求b.
解：由cos(a-c)+cosb=及b=π-a+c)得cos(a-c)-cos(a+c)=.
cosacosc+sinasinc-(cosacosc-sinasinc)=,
又由b2=ac及正弦定理得sin2b=sinasinc,故，或(舍去)，于是，或。
又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以。
7．（2010ⅰ）已知△abc的内角a，b及其对边a，b满足a＋b＝acota＋bcotb，求内角c.
解：由a＋b＝acota＋bcotb及正弦定理得sina＋sinb＝cosa＋cosb，sina－cosa＝cosb－sinb，从而sinacos－cosasin＝cosbsin－sinbcos，sin(a－)＝sin(－b)．
又0＜a＋b＜π，故a－＝－b，a＋b＝.
所以c＝.
8．（2010ⅱ）△abc中，d为边bc上的一点，bd＝33，sinb＝，cos∠adc＝，求ad.
解：由cos∠adc＝＞0知b＜，由已知得cosb＝，sin∠adc＝，从而sin∠bad＝sin(∠adc－b)＝sin∠adccosb－cos∠adcsinb＝×－
由正弦定理得＝，ad＝＝＝25.
9．(2011) △abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，.
1)求b；2)若a＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正弦定理得。
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosb.
故，因此b＝45°.
2)sina＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.
故，10．(2012) △abc中，内角a，b，c成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求a．
解：由a，b，c成等差数列及a＋b＋c＝180°，得b＝60°，a＋c＝120°.
由2b2＝3ac及正弦定理得2sin2b＝3sinasinc，故。
cos(a＋c)＝cosacosc－sinasinc＝cosacosc－，即cosacosc－＝，cosacosc＝0，cosa＝0或cosc＝0，所以a＝90°或a＝30°.
11． (2013)设△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
1)求b；2)若sin asin c＝，求c．
解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos b＝，因此b＝120°.
2)由(1)知a＋c＝60°，所以cos(a－c)＝cos acos c＋sin asin c＝cos acos c－sin asin c＋2sin asin c
cos(a＋c)＋2sin asin c＝＝，故a－c＝30°或a－c＝－30°，因此c＝15°或c＝45°.
12． (2014)△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知3acos c＝2ccos a，，求b.
解：由题设和正弦定理得3sin acos c＝2sin ccos a.
故3tan acos c＝2sin c，因为，所以cos c＝2sin c，.
所以tan b＝tan[180°－(a＋c)]＝tan(a＋c)＝＝1，即b＝135°.
数列。1.（2007全国ⅰ）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
ⅰ）求、的通项公式；
ⅱ）求数列的前n项和。
解：（ⅰ设的公差为，的公比为，则依题意有且。
解得，.所以，ⅱ）
－①得。2. （2007全国ⅱ）设等比数列 的公比q＜1,前n项和为sn.已知a3=2,s4=5s2,求的通项公式。
解：由题设知，则
由②得，因为，解得或。
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式。
3．（2008全国ⅰ）在数列中，，．
ⅰ）设．证明：数列是等差数列；
ⅱ）求数列的前项和．
解：（ⅰ由已知。
又=1，因此是首项为1，公差为1的等差数列。
ⅱ）由（ⅰ）知。
两边乘以2得。
两式相减得。
4．（2008ⅱ）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
解：设数列的公差为，则，． 3分。
由成等比数列得，即，整理得， 解得或． 7分。
当时，． 9分。
当时，于是． 12分。
5.( 2009ⅰ)5 设等差数列的前n项和为sn,公比是正数的等比数列的前n项和为tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,t3-s3=12,求，的通项公式。
解：设的公差为d,的公比为q.
由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, ①
由t3-s3=12得q2+q-d=4
由①②及q＞0解得q=2,d=2.
故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1.
6. (2009ⅱ) 已知等差数列中，a3a7=-16,a4+a6=0,求的前n项和sn.
解：设的公差为d,则。
即。解得或。
因此，sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).
7．（2010ⅰ）记等差数列的前n项和为sn，设s3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求sn.
解：设数列的公差为d.依题设有。
即。解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4.
因此sn＝n(3n－1)或sn＝2n(5－n)．
8（2010ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)a3＋a4＋a5＝64(＋＋
1)求的通项公式；
2)设bn＝(an＋)2，求数列的前n项和tn.
解：(1)设公比为q，则an＝a1qn－1.由已知有。
化简得。又a1＞0，故q＝2，a1＝1.
所以an＝2n－1.
2)由(1)知bn＝(an＋)2＝＋＋2＝4n－1＋＋2.
因此tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…2n
＋＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋1.
9．(2011) 设等比数列的前n项和为sn.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和sn.
解：设的公比为q，由题设得。
解得或。当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，sn＝3n－1.
10．(2012)已知数列中，a1＝1，前n项和。
1)求a2，a3；
2)求的通项公式．
解：(1)由得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；
由得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
2)由题设知a1＝1.
当n＞1时有an＝sn－sn－1＝，整理得。
于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…
an－1＝an－2，an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，整理得。
综上，的通项公式。
11． (2013)等差数列中，a7＝4，a19＝2a9.
1)求的通项公式；
2)设，求数列的前n项和sn.
解：(1)设等差数列的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以。解得a1＝1，.所以的通项公式为。
2)因为，所以。
12．(2014) 数列满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
1)设bn＝an＋1－an，证明是等差数列；
2)求的通项公式．
解： (1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
2)解：由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1.
于是，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以的通项公式为an＝n2－2n＋2.
函数与导数。
1.（2007全国ⅰ）设函数在及时取得极值。
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）若对任意的，都有成立，求c的取值范围。
解：（ⅰ因为函数在及取得极值，则有，.
即。解得，.
ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，；当时，；当时，.
所以，当时，取得极大值，又，.
则当时，的最大值为。
因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得或，因此的取值范围为。
2.（2007全国ⅱ）已知函数f(x)= ax3-bx2+(2-b)x+1
在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.
1）证明a＞0;
2）若z=a+2b,求z的取值范围。
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