一、 填空题（12分）
二、 选择题（18分）
1. d； 2. b； 4. d；
三、计算题和证明题（28分）
1. 已知，求矩阵使之满足。（6分）
解：矩阵方程。
用初等变换法解矩阵方程。
6分。所以2分。
2. 设是的一组基，求到的。
过渡矩阵。 （8分）
解：由（）=
因为（）=所以，
3.求向量组。
的秩及其一个极大线性无关组，并把其余。
向量用找到的极大线性无关组线性表出。（8分）解：4分）
所以，向量组的秩为3；为其一个极大线性无关组； （2分）
（2分）4.若阶方阵满足。
1）求的特征值（4分）
2）证明：。（6分）
1）由，设为的一个特征值，得，可求得特征值为0，1
（2）证：由，得，所以，，又因为。
故， 四、设一个特解，为齐次线性方程组的基础解系，证明：线性无关。（8分）
证明：取常数，使得。
整理的。假设则可由线性表示，与一个特解矛盾。因此，，可得，又因为为齐次线性方程组的基础解系，所以，，可求得，
因此，线性无关。
五、（14分）设，
解：可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。
此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得。
可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为。
六、设二次型。
1）求二次型的矩阵的所有特征值。
2）若二次型的规范形为，求的值。
3) 求正交变换，利用正交变换法将化为标准型。
解：(1) 二次型对应的矩阵为。
则。即二次型的矩阵的所有特征值为。
2) 因为二次型的规范形为，说明a的特征值有2个为正，1个为零，因此a只能为2，a的特征值为0，2，3
3) 由。将a的特征值0，2，3分别代入计算得到3个彼此正交的特征向量为。
正交化后得。
因此正交矩阵为。
标准型为。
2023年秋季学期线性代数课程作业
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