廉江市实验学校高补部数学(理科)寒假作业（3）
一、选择题。
1.设全集u=r，集合a=，b=，则下列结论正确的是（ ）
a．a∩b=
2.如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（ ）
a．﹣2或 1 b．﹣2 c．1 d．2
3.已知向量满足，且，则向量的夹角为( )
abcd.
4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）
a．﹣ b．0 c． d．
5.设是首项为，公差为-1的等差数列，为前项和，若成等比数列，则（ ）
a．2b．-2cd．
6.已知，则=（
a． b．﹣ c． d．﹣
7.若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（ ）
ab．（﹣0
cd．（﹣0）∪（
8.点p是直线y=x﹣1上的动点，过点p作圆c：x2+（y﹣2）2=1的切线，则切线长的最小值是（ ）
a． b． c． d．
9.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
a． b． c． d．
10.设(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0，a1，a2，…，a8中奇数的个数为( )
a．2 b．3c．4d．5
11.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线， 是双曲线的两个顶点， 若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为（ ）
abcd．
12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立。则有（ ）
ab． cd．
二、填空题。
13.已知，，，则。
14.已知直线ab：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从rt△aob区域内任取一点m（x，y），则点m取自阴影部分的概率为 ．
15.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考的好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的两人说对了．
16.已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是。
三、解答题。
17.在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c， =且．
1）求角a；
2）若a=2，当sinb+cos（）取得最大值时，求b和b．
18.在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．
1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平分数和中位数；
2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表：
假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为（单位：分）43，45，52，58，记这4名选手在复活赛中通过的人数为随机变量x，求x的分布列和数学期望．
19.如图，已知平面平面，与分别是棱长为1与2的正三角形， /四边形为直角梯形， /点为的重心，为中点，．
ⅰ）当时，求证： /平面；
ⅱ）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值．
20.已知椭圆过直线上一点作椭圆的切线，切点为，当点在轴上时，切线的斜率为。
1）求椭圆的方程；
2）设为坐标原点，求面积的最小值。
21.已知函数，.
ⅰ）若在处取得极值，求的值；
ⅱ）若在区间上单调递增， 求的取值范围；
ⅲ）讨论函数的零点个数。
22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆c的极坐标方程为ρ=4cosθ，设m是圆c上任一点，连结om并延长到q，使|om|=|mq|．
ⅰ）求点q轨迹的直角坐标方程；
ⅱ）若直线l与点q轨迹相交于a，b两点，点p的直角坐标为（0，2），求|pa|+|pb|的值．
23.设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
1）解不等式f（x）＞0；
2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
廉江市实验学校高补部数学寒假作业（3）试卷答案。
13. 14.15.乙 ，丙 16.4
17.解：（1）∵由余弦定理可得： =2cosb，﹣2cosb==，可得：cosb≠0，∴sin2a=1，a=，…6分。
2）由（1）可得b+c=，sinb+cos（）=sinb+cos（b﹣）=sinb+cosb=sin（b+），可得：＜b+＜，当b+=，即b=时，sinb+cos（）取得最大值，…10分。
由正弦定理可得：b===b=，b=…12分。
18.【解答】解：（1）由10（0.
01+0.02+0.03+a）=1，解得：
a=0.04，由平均数x=10×（65×0.01+75×0.
04+85×0.02+95×0.03）=82，由图可知：
前两个矩形面积之和为0.5， ∴中位数为80；
2）由题意可知：成绩在（40，50]，（50，60）内选手各由两名，则随机变量x的取值为0，1，2，3，4，p（x=0）=×p（x=1
p（x=2p（x=3
p（x=3）=×x的分布列为：
x数学期望e（x）=0×+1×+2×+3×+4×=．
ⅱ）平面平面，易得平面平面，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，设，，
因为与所成角为，所以，得，设平面的法向量，则，取，面的法向量，所以二面角的余弦值。
20.则。∴，此时。
21当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点。
ⅱ）由（ⅰ）知，，.
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立。
即在区间上恒成立。 所以。 …8分。
iii）因为，所以，.
22.解：（ⅰ圆c的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：
x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，设q（x，y），则，代入圆的方程可得，化为（x﹣4）2+y2=16．即为点q的直角坐标方程．
ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．
得， 令a，b对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．
23.解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．
综上，原不等式的解集为；
2）令f（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有f（x）的最小值为9，所以m≤9．
即m的取值范围为（﹣∞9]．
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