寒假作业(五) 导数的应用(注意命题点的区分度)
一、选择题。
1．函数f(x)＝3＋xln x的单调递增区间是( )
ab．(e，＋∞
c. d.
解析：选c f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)>0，得x>，故f(x)的单调递增区间为。
2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
a．x＝1 b．x＝－1
c．x＝1或－1或0 d．x＝0
解析：选c ∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，又当x<－1时f′(x)<0，当－10，当01时，f′(x)>0，x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
3．(2017·长春三模)定义在r上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )
a．ex1f(x2)＞ex2f(x1)
b．ex1f(x2)＜ex2f(x1)
c．ex1f(x2)＝ex2f(x1)
d．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定。
解析：选a 设g(x)＝，则g′(x)＝＝由题意知g′(x)＞0，所以g(x)在r上单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．
4．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( )
a．15 b．16
c．17 d．18
解析：选d f′(x)＝3x2－3a，因为x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，所以f′(2)＝12－3a＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－12x＋2，f′(x)＝3x2－12.由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数f(x)在(－2,2)上是减函数，在(－∞2)，(2，＋∞上是增函数，由此可知当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.
5．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( )
a．[－5,0) b．(－5,0)
c．[－3,0) d．(－3,0)
解析：选c 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞2)，(0，＋∞上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知解得a∈[－3,0) .
6．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：选d 由f′(x)的图象知，f′(x)的图象有三个零点，故f(x)在这三个零点处取得极值，排除a、b；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞x1)上单调递减，排除c，故选d.
7．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是( )
a．f＝f b．f>f
c．f解析：选c 因为f′(x)＝－sin x＋2f′，所以f′＝－sin＋2f′，所以f′＝.
因为f′(x)＝－sin x＋1≥0恒成立，所以f(x)＝cos x＋x是r上的增函数，所以f8．(2018届高三·黄冈调研)定义在区间(0，＋∞上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)a．8<<16 b．4<<8
c．3<<4 d．2<<3
解析：选b ∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0，′＝0，y＝在(0，＋∞上单调递增，>，即》4.
xf′(x)－3f(x)<0，x>0，′＝0，y＝在(0，＋∞上单调递减，<，即<8.
综上，4<<8.
9．(2017·张掖一诊)定义在r上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且2f′(x)>1，当x∈时，不等式f(2cos x)>－2sin2的解集为( )
a. b.
c. d.
解析：选d 令g(x)＝f(x)－－则g′(x)＝f′(x)－>0，g(x)在r上单调递增，且g(1)＝f(1)－－0，f(2cos x)－＋2sin2＝f(2cos x)－－g(2cos x)，f(2cos x)>－2sin2，即g(2cos x)>0，2cos x>1，又x∈，∴x∈.
10．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为( )
a．(－e] b．[0，e]
c．(－e) d．[0，e)
解析：选a f′(x)＝－k＝(x>0)．
设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞上单调递增．
g(x)在(0，＋∞上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选a.
11．已知函数f(x)＝x3－2x2－4x－7，其导函数为f′(x)，给出以下命题：
f(x)的单调递减区间是；
f(x)的极小值是－15；
当a>2时，对任意的x>2且x≠a，恒有f(x)>f(a)＋f′(a)(x－a)；
函数f(x)有且只有一个零点．
其中真命题的个数为( )
a．1 b．2
c．3 d．4
解析：选c 易得f′(x)＝3x2－4x－4＝(x－2)(3x＋2)，①令f′(x)<0，得－0，得x<－或x>2，结合①可知f(x)的极小值是f(2)＝－15；③显然当a>2时，对任意的x>2且x≠a，恒有f(x)>f(a)＋f′(a)(x－a)不成立；④f＝－<0，f(2)＝－15<0，并结合①②易知f(x)有且只有一个零点．故选c.
12．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
a．[1，e2－2] b.
c. d．[e2－2，＋∞
解析：选a 由题意，知a－x2＝－2ln x，即－a＝2ln x－x2在上有解．设f(x)＝2ln x－x2，则f′(x)＝－2x＝－.易知x∈时，f′(x)>0，x∈[1，e]时，f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f(x)极大值＝f(1)＝－1，又f(e)＝2－e2，f＝－2－，即f(e)二、填空题。
13．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞上是增函数，在(0,1)上是减函数，则实数k
解析：h′(x)＝2＋，根据题意，知h′(1)＝0，即2＋k＝0，解得k＝－2，经验证，符合题意．
答案：－214．若函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是___
解析：由于f′(x)＝－x2＋1.
易知f(x)在(－∞1)和(1，＋∞上单调递减，在[－1，1]上单调递增．
故函数f(x)在(a,10－a2)上存在最大值的条件为即－2≤a<1.
答案：[－2,1)
15．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s，要使它的容积最大，它的高h与底面半径r的比应为___
解析：因为s＝2πrh＋2πr2，所以h＝，所以v(r)＝πr2，(s－2πr2)r＝sr－πr3.
由v′(r)＝s－3πr2＝0，得s＝6πr2，结合函数的单调性知。
当s＝6πr2时，容积最大，此时6πr2＝2πrh＋2πr2.
即h∶r＝2∶1.
答案：2∶1
16．(2017·兰州诊断)已知函数f(x)＝ex＋mln x(m∈r，e为自然对数的底数)，若对任意正数x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)－f(x2)>x1－x2成立，则实数m的取值范围是___
解析：依题意得，对于任意的正数x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)－x1>f(x2)－x2，因此函数g(x)＝f(x)－x在区间(0，＋∞上是增函数，于是当x>0时，g′(x)＝f′(x)－1＝ex＋－1≥0，即x(ex－1)≥－m恒成立．记h(x)＝x(ex－1)，x>0，则有h′(x)＝(x＋1)ex－1>(0＋1)e0－1＝0，x>0，即h(x)在区间(0，＋∞上是增函数，h(x)的值域是(0，＋∞因此－m≤0，m≥0.故所求实数m的取值范围是[0，＋∞
答案：[0，＋∞
三、解答题。
17．已知函数f(x)＝x2－aln x＋b(a∈r)．
1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－3＝0，求实数a，b的值；
2)若x＝1是函数f(x)的极值点，求实数a的值．
解：(1)因为f(x)＝x2－aln x＋b，所以f′(x)＝x－(x>0)，因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为3x－y－3＝0，所以即解得。
2)因为x＝1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1.
当a＝1时，f(x)＝x2－ln x＋b，定义域为(0，＋∞f′(x)＝x－＝＝当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝1是f(x)的极值点，所以a＝1符合题意．
18．设函数f(x)＝ln x－ax(a∈r)(e为自然对数的底数)．
1)判断f(x)的单调性；
2)当f(x)<0在(0，＋∞上恒成立时，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－a(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞上是增函数，当a>0时，x∈时，f′(x)>0，此时f(x)在上是增函数，x∈时，f′(x)<0，此时f(x)在上是减函数．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞上是增函数，当a>0时，f(x)在上是增函数，在上是减函数．
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