第三章主要内容小结。
第四章内容小结。
第五章内容小结。
一、切比雪夫不等式。
设，，则，或。
二、大数定律。
定理若相互独立，且，，记，则。
定理表明：随机变量的平均值序列依概率收敛于其数学期望。
推论当(i=1,2,┅)服从参数为p的0-1分布时，有。其中服从二项分布b(n,p)。
推论表明：事件a发生的频率是依概率收敛于事件a发生的概率的。
三、中心极限定理。
定理若相互独立，服从同一分布，且，，记，则。
定理表明：多个随机变量的总和是近似服从正态分布的。其标准化随机变量是近似服从标准正态分布的。
推论当(i=1,2,┅)服从参数为p的0-1分布时，则。
其中服从二项分布b(n,p)。
推论表明：当n充分大时，服从二项分布的随机变量是近似服从正态分布的。其标准化随机变量是近似服从标准正态分布的。
第六章内容小结。
数理统计的任务是：对总体的未知参数进行估计或推断。
推断的方式：参数估计（第七章）和假设检验（第八章）
推断的方法：
1．通过抽样，以获取总体的部分信息，容量为n的样本：，一般是随机样本，它与总体具有相同的分布，且相互独立。因此，的联合分布函数为。
其密度函数为。
其中f,f分别为总体的分布函数和密度函数。
2．用统计量对数据进行分析和处理。
一般的统计量有：
样本原点矩： 样本中心矩：
常用的统计量有：
样本均值： 样本方差：
3．要得到合理、可靠的推断结果，必须依赖于抽样分布及其分位数。
统计分布：，，
对于一般总体来说，抽样分布是难以确定的。但对于单正态总体来说，下面几个抽样分布是确定的。
1)，从而。
当总体方差已知时，可用此随机变量对未知参数进行区间估计和假设检验。
当总体方差未知时，可用此随机变量对未知参数进行区间估计和假设检验。
当总体均值已知时，可用此随机变量对未知参数进行区间估计和假设检验。
当总体均值未知时，可用此随机变量对未知参数进行区间估计和假设检验。
分位点的意义是：满足(已知)的x。
1) 若。满足，即满足，查对应的x，即为它的上侧分位点，记为。
又满足，即满足，查对应的x，即为它的双侧分位点，记为。
2) 若。满足的x，即为它的上侧分位点，记为。
3) 若。满足的x，即为它的上侧分位点，记为。
又满足，即满足，查对应的x，即为它的双侧分位点，记为。
4) 若。满足的x，即为它的上侧分位点，记为。
第七章内容小结。
对总体的未知参数进行估计称为参数估计。它分为点估计和区间估计两种。
一、点估计——用样本的函数值来估计参数的真值。
1．点估计法——用样本矩来估计总体矩的方法。
一般用样本原点矩来代替总体原点矩，用样本中心矩来代替总体中心矩进行估计。
估计的步骤：（设有两个未知参数）
1) 求出总体的一阶、二阶矩。
2) 解出，
3) 用样本矩来代替总体矩，得的估计量。
4) 用样本观察值代入，可得的估计值。
2．最大似然估计——发生样本值概率最大的参数值。
步骤：1) 将样本值代入总体的概率函数中，并求出似然函数：
离散型） （连续型）
2) 取对数
3) 对求导数，并令导数为零。
4) 解出，可得的最大似然估计值：
5) 对应的最大似然估计量为。
3．估计量的评价标准。
点估计离不开估计量，估计量的好坏对参数估计的效果是有很大影响的，好的估计量应该在多次反复的估计中都能体现出它的优良性，符合评价标准的估计量才是好的估计量。
1)无偏性——满足的估计量称为的无偏估计量。
2)均言误差准则——若，则更优。
二、区间估计。
用区间对参数进行估计与点估计相比，更能体现出它的可靠性（可用概率来衡量），给定数，若，则称随机区间为的置信度为的置信区间。
求置信区间的步骤：
1)选取未知参数的一个较优的估计量；
2)围绕构造一个依赖于样本与的函数，其分布已知；
3)对给定的，确定与，使，其中可取的分位点，则取的分位点；
4)从不等式解出的范围，则就是的置信区间。
单正态总体参数的置信区间。
1．若，已知，则选，且，给定置信度，可求得总体均值的置信区间为。
2．若，未知，则选，且，给定置信度，可求得总体均值的置信区间为。
3．若，未知，则选，且，给定置信度，可求得总体方差的置信区间为。
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