第一章随机事件与概率。
一、教学要求。
1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算．
2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．
3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．
4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．
5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．
本章重点：随机事件的概率计算．
二、知识要点。
1．随机试验与样本空间。
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作．
2．随机事件。
在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)
看作特殊的随机事件．
3．事件的关系及运算。
(1) 包含：若事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作(或)．
(2) 相等：若两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作．
(3) 和事件：“事件a与事件b中至少有一个发生”这一事件称为a与b的和事件，记作；“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和，记作（简记为）．
(4) 积事件：“事件a与事件b同时发生”这一事件称为a与b的积事件，记作(简记为)；“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件，记作（简记为或)．
(5) 互不相容：若事件a和b不能同时发生，即，那么称事件a与b互不相容(或互斥)，若n个事件中任意两个事件不能同时发生，即(1≤i (6) 对立事件：若事件a和b互不相容、且它们中必有一事件发生，即且，那么，称a与b是对立的．事件a的对立事件(或逆事件)记作．
(7) 差事件：若事件a发生且事件b不发生，那么，称这个事件为事件a与b的差事件，记作(或) ．
(8) 交换律：对任意两个事件ａ和b有。
(9) 结合律：对任意事件a，b，c有。
(10) 分配律：对任意事件a，b，c有。
(11) 德摩根（de morgan）法则：对任意事件a和b有。
4．频率与概率的定义。
(1) 频率的定义。
设随机事件a在n次重复试验中发生了次，则比值／n称为随机事件a发生的频率，记作，即 .
(2) 概率的统计定义。
在进行大量重复试验中，随机事件a发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率在一个稳定的值(0<<1)附近摆动，规定事件a发生的频率的稳定值为概率，即．
(3) 古典概率的定义。
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：
(i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作；
(ii) 在每次试验中，每个样本点(）出现的概率相同，即。
在古典概型中，规定事件a的概率为。
(4) 几何概率的定义。
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件ａ的概率为。
(5) 概率的公理化定义。
设随机试验的样本空间为，随机事件a是的子集，是实值函数，若满足下列三条公理：
公理1 (非负性) 对于任一随机事件ａ，有≥0；
公理2 (规范性) 对于必然事件，有；
公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件，有。
则称为随机事件ａ的概率．
5．概率的性质。
由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质。
(2) (有限可加性) 设n个事件两两互不相容，则有。
(3) 对于任意一个事件a：
(4) 若事件a，b满足，则有。
(5) 对于任意一个事件a，有．
(6) (加法公式) 对于任意两个事件a，b，有。
对于任意n个事件，有。
6．条件概率与乘法公式。
设a与b是两个事件．在事件b发生的条件下事件a发生的概率称为条件概率，记作．当，规定。
在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质．
乘法公式：对于任意两个事件a与b，当，时，有。
7．随机事件的相互独立性。
如果事件a与b满足。
那么，称事件a与b相互独立．
关于事件a，月的独立性有下列两条性质：
(1) 如果，那么，事件a与b相互独立的充分必要条件是；如果，那么，事件a与b相互独立的充分必要条件是．
这条性质的直观意义是“事件a与b发生与否互不影响”．
(2) 下列四个命题是等价的：
(i) 事件a与b相互独立；
(ii) 事件a与相互独立；
(iii) 事件与b相互独立；
(iv) 事件与相互独立．
对于任意n个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，若事件总满足。
则称事件相互独立．这里实际上包含了个等式．
8．贝努里概型与二项概率。
设在每次试验中，随机事件ａ发生的概率，则在n次重复独立试验中．，事件ａ恰发生次的概率为。
称这组概率为二项概率．
9．全概率公式与贝叶斯公式。
全概率公式：如果事件两两互不相容，且，，，则。
三、思考题。
１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有支火柴”的概率是多少？
２．设一个居民区有个人，设有一个邮局，开个窗口，设每个窗口都办理所有业务．太小，经常排长队；太大又不经济．现设在每一指定时刻，这个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过”这个事件的概率要不小于（例如，），问至少须设多少窗口？
３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％而机器无故障的概率为９５％某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？
第二章离散型随机变量及其分布。
一、教学要求。
1．理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松(poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用．
２．理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．
３．理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布．
4．掌握离散型随机变量独立的条件．
5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布．
本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算．
二、知识要点。
1．一维随机变量。
若对于随机试验的样本空间中的每个试验结果，变量都有一个确定的实数值与相对应，即，则称是一个一维随机变量．
概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．
2．离散型随机变量及其概率函数。
如果随机变量仅可能取有限个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量．
设离散型随机变量的可能取值为，若，则称离散型随机变量的概率函数，概率函数也可用下列**形式表示：
３．概率函数的性质。
由已知的概率函数可以算得概率。
其中，是实数轴上的一个集合．
４．常用离散型随机变量的分布。
(1) 0—1分布，它的概率函数为。
其中，或1，．
(2) 二项分布，它的概率函数为。
其中，，．（３）超几何分布，设为正整数，且，又设随机变量的概率函数为。
则称随机变量服从参数为的超几何分布．
(４)泊松分布，它的概率函数为。
其中，，．(５)均匀分布，它的概率函数为，其中，．
(６)几何分布，它的概率函数为，其中，，．
５．二维随机变量。
若对于试验的样本空间中的每个试验结果，有序变量都有确定的一对实数值与e相对应，即， ，则称为二维随机变量或二维随机向量．
6．二维离散型随机变量及联合概率函数。
如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称为二维离散型随机变量．
二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：
其中，．7．二维离散型随机变量的边缘概率函数。
设为二维离散型随机变量，为其联合概率函数（），称概率为随机变量的边缘概率函数，记为并有。
称概率为随机变量y的边缘概率函数，记为，并有。
8．随机变量的相互独立性 ．
设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为。
多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．
９．二维离散型随机变量的条件概率函数。
设为二维离散型随机变量，为其联合概率函数 ，在给定下的条件概率函数为。
在给定下的条件概率函数为。
10．随机变量函数的分布。
设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布．
设离散型随机变量的概率函数为。
则随机变量函数的概率函数可由下表求得。
但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加．
1１．二维离散型随机变量函数的分布。
如果二维离散型随机变量的联合概率函数为。
则随机变量函数的概率函数为。
但要注意，取相同值对应的那些概率应合并相加．
特别有下面的结论：
(j) 设，且与相互独立，则；
(ii) 设，且与相互独立，则．
三、思考题。
１．某地有２５０人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２００元．设该地人口死亡率为１．５求保险公司获利不少于１００元的概率．
概率论教案
第一章随机事件与概率。第一节随机事件。教学目的 了解概率的主要任务及其研究对象 掌握随机试验 随机事件等基本概念 掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。教学重点 随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。教学难点 事件 关系 运算 与集合的对应，用运算表示复杂事件。教学内容 1 随机现象与概率统...
概率论教案
概率论教学大纲。课程编码 适用专业 数学与应用数学 信息与计算科学。课时 54 学分 3 课程性质 目标和要求 概率论 是数学与应用数学专业 信息与计算科学专业学生一门重要的专业基础必修课，在教学培养计划中列为基础主干课程。通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论的基础知识，而且使学生学到随...
概率论概率论X2019答案
华南农业大学期末考试试卷答案。2010 2011学年第 1 学期考试科目 概率论与数理统计 一 填空题 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分 1 若，则。2 设随机变量的概率密度为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则。3 设由来自正态总体容量为9的简单随机样本，得到样本均值，则...