概率论总结

概率论与数理统计第一章学习总结。

本章介绍了随机事件及其概率，可以将其分为四个部分。

第一部分：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用e表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为s或ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间。 样本空间用s或ω表示。

一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集。

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等

若事件a发生必然导致事件b发生，则称b包含a，记为ba或ab。

若ab且ab则称事件a与事件b相等，记为a＝b。

定义：和事件。

“事件a与事件b至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件a与事件b的和事件。记为a∪b。 用集合表示为： a∪b=。

定义：积事件。

称事件“事件a与事件b都发生”为a与b的积事件，记为a∩b或ab，用集合表示为ab=。

定义：差事件。

称“事件a发生而事件b不发生，这一事件为事件a与事件b的差事件，记为a－b,用集合表示为 a-b= 。

定义：互不相容事件或互斥事件。

如果a，b两事件不能同时发生，即ab＝φ 则称事件a与事件b是互不相容事件或互斥事件。

定义：逆事件/对立事件。

称事件“a不发生”为事件a的逆事件，记为 。a与满足：a∪= s,且a=φ。

运算律：设a，b，c为事件，则有。

1）交换律：a∪b=b∪a，ab=ba

2）结合律：a∪(b∪c)=(a∪b)∪c=a∪b∪c

a(bc)=(ab)c=abc

3）分配律：a∪(b∩c)＝(a∪b)∩(a∪c)

a(b∪c)＝(a∩b)∪(a∩c)= ab∪ac

4）对偶律：

第二部分：设试验e是古典概型， 其样本空间s由n个样本点组成 , 事件a由k个样本点组成 . 则定义事件a的概率为：p(a)＝k/n＝a包含的样本点数/s中的样本点数。

概率的性质：

1）p()=0,2）

4） 若ab，则p(b-a)=p(b)-p(a), p(b) ≥p(a).

第三部分：条件概率：在事件b发生的条件下，事件a发生的概率称为a对b的条件概率，记作p(a|b).

而条件概率p(a|b)是在原条件下又添加“b发生”这个条件时a发生的可能性大小，即p(a|b)仍是概率。

乘法公式： 若p(b)>0,则p(ab)=p(b)p(a|b)

p(a)>0,则p(ab)=p(a)p(b|a)

第四部分 ：若两事件a、b满足。

p(ab)= p(a) p(b) 则称a、b独立，或称a、b相互独立。

将两事件独立的定义推广到三个事件：

对于三个事件a、b、c，若。

p(ac)= p(a)p(c) p(ab)= p(a)p(b)

p(abc)= p(a)p(b)p(c) p(bc)= p(b)p(c) 四个等式同时成立，则称事件 a、b、c相互独立。

本章介绍的的随机事件及其概率是概率论中最基本、最重要的概念之一。

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