中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院。
线性代数课程作业3（共 4 次作业）
学习层次：专升本涉及章节：第4章。
1．设，求及。
解 ；2．设，其中，，求。
解由， 整理得：
3．判断向量组是否线性相关。
解因为向量的个数等于向量的维数，可用行列式判断，所以向量组线性相关；
解因为向量的个数等于向量的维数，可用行列式判断，所以向量组线性无关。
4．求下列向量组的秩，并求一个最大无关组。
解显然可以看到： 线性相关，所以线性相关，由，秩为2，一组最大线性无关组为；
解 秩为2，线性相关，且最大线性无关组为。
5．求下列齐次线性方程组的基础解系：
解 ，所以原方程组等价于。
取得，取得。
因此基础解系为；
(也可以将上式化为。
因此基础解系也可取为；)
解 所以原方程组等价于
取得 取得
因此基础解系为。
6．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它。
的三个解向量．且。
求该方程组的通解。
解由于矩阵的秩为3，，故其对应解空间的维数是一维的，其齐次线性方程组的基础解系只含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得，均是齐次方程组的解，且+仍为齐次方程组的解，所以。
为其基础解系向量，故此方程组的通解：，。
7．求下列非齐次方程组的特解，对应的基础解系，通解。
解 由此推出
所以特解为，基础解系是，通解为。
解 ，由此推出。
所以，通解为：。
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