第一次作业：练习一之题。
1.1 离散随机变量x由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。
解： 1.2 设连续随机变量x的概率分布函数为。
求（1）系数a；（2）x取值在（0.5，1）内的概率。解： 由
得 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
解：（1）当时，对于，有，是单调非减函数；
成立；也成立。
所以，是连续随机变量的概率分布函数。求得，
在a>0时，对于，有，是单调非减函数；
欲使和成立，必须使a=1。
所以，在a=1时，是连续随机变量的概率分布函数。
同理， 欲满足，也必须使a=1。所以，
上式可改写为。
对于，不成立。
所以，不是连续随机变量的概率分布函数。
当时，不满足，所以不是连续随机变量的概率分布函数。
第二次作业：练习一之题。
1.4 随机变量x在[α，上均匀分布，求它的数学期望和方差。
解：因x在[α，上均匀分布。
1.5 设随机变量x的概率密度为，求y=5x+1的概率密度函数。
解：反函数x = h(y) =y-1)/5
h′(y) =1/5 1≤y≤6
fy (y) =fx (h(y))｜h′(y)∣=1 ×1/5 = 1/5
于是有 1.6 设随机变量上均匀分布，且互相独立。若，求。
1）n=2时，随机变量y的概率密度。
2）n=3时，随机变量y的概率密度。
解： n=2时，
同理，n=3时，
1.7 设随机变量x的数学期望和方差分别为m和，求随机变量的数学期望、方差及x和y的相关矩。
解：数学期望：
方差： 相关矩：
第三次作业：练习一之题。
1.9随机变量x和y分别在[0,a]和[0,]上均匀分布，且互相独立。对于，证明：
证：rv. x和y分别在[0,a]和[0,]上均匀分布。
有和。因为rv. x和y相互独立。
命题得证。1.10 已知二维随机变量（）的联合概率密度为，随机变量（）与随机变量（）的关系由下式唯一确定。
证明：（）的联合概率密度为。
证：做由到的二维变换。
1.11 随机变量x,y的联合概率密度为。
求：（1）系数a；（2）x,y的数学期望；（3）x,y的方差；（4）x,y的相关矩及相关系数。解：
同理。4）相关矩。
协方差。相关系数。
第四次作业：练习一之题。
1.12 求随机变量x的特征函数，已知随机变量x的概率密度。
解： 利用傅氏变换：
1.13 已知随机变量x服从柯西分布，求他的特征函数。
解： 利用傅氏变换：
1.14 求概率密度为的随机变量x的特征函数。
解： 利用傅氏变换：
1.15 已知相互独立的随机变量x1，x2，x3，…，xn的特征函数，求x1，x2，x3，…，xn线性组合的特征函数。ai和c是常数。
解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。
第五次作业：练习二之题。
2.1 随机过程，其中为常数，a、b是两个相互独立的高斯变量，并且，。求x(t)的数学期望和自相关函数。解：
2.2 若随机过程x(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。
证： 由均方连续的定义，展开左式为：
固有，证得数学期望连续。
2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数。
证：在时存在，也就是存在。
2.4 判断随机过程是否平稳？其中为常数，a、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
解：与时间的起点无关，且。
因此，是广义平稳的随机过程。
2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量a、b构成的随机过程。
是宽平稳而不一定是严平稳的。其中为常数，a、b的数学期望为零，方差相同。证：
因此，是广义平稳的随机过程。
可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。
第六次作业：练习二之题。
2.6 有三个样本函数组成的随机过程，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？
解： 由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。
2.7 已知随机过程，为在内均匀分布的随机变量，a可能是常数、时间函数或随机变量。a满足什么条件时，是各态历经过程？
解： 1）考查为平稳过程的条件。
在a为常数或与不相关的随机变量时，满足。
2）考查为各态历经过程的条件。
在a为常数或与不相关的随机变量时，满足。
而。只有在a为常数时，满足。
欲使是各态历经过程，a必为常数。
2.8 设和是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？
解：令。又。
和的乘积是平稳的。
2.9 求用自相关函数及功率谱密度表示的的自相关函数及功率谱密度。其中，为在内均匀分布的随机变量，是与相互独立的随机过程。
解： 2.10 平稳高斯过程的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。
解： 1）的一维概率密度：
2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。
第七次作业：练习二之题。
2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程和，已知，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。
解：a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足；
b），（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；
c）对于非周期平稳过程有，（b）中仅有(6)满足。
因此，(6)是自相关函数。
2.12 求随机相位正弦信号的功率谱密度，为在内均匀分布的随机变量，是常数。
解： 2.13 已知随机过程，式中是常数，是平稳过程，并且相互之间是正交的，若表示的功率普密度，证明功率谱密度为。
证：因是平稳过程，并且相互之间是正交的，。
2.14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程。
1）和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程。
2）将（1）的结果用到，求以和的功率谱密度和互谱密度表示的的功率谱密度。
3）如果和不相关，那么的功率谱密度是什么？解：
欲使与时间无关，不随时间函数、t变化，和的数学期望必须是；
在时，上式可写作与时间起点无关的表达式：
因此，当，时，是平稳过程。
2）对两边同时作傅氏变换：
3）和不相关，的互功率谱密度为零。
2.15 设两个随机过程和各是平稳的，且联合平稳。
式中，为在内均匀分布的随机变量，是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。
解： 和是相关的，不是统计独立的；
又，和是非正交的。
第八次作业：练习三之题。
3.1 rc积分电路的输入电压为，其中和分别是在[0，1]和[0，]上均匀分布的随机变量，且相互独立。求输出电压y(t)的自相关函数。
解： rc积分电路的。
3.2 若图示系统的输入x(t)为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。
解： 3.3 冲激响应为和的两个系统并联，求、和x(t)的自相关函数表示的和的互相关函数。
解：设x(t)为平稳过程，和为线性时不变系统，有。
3.4 随机过程x(t)作用到脉冲响应为和的串联系统。求、和x(t)的自相关函数表示的和的互相关函数。
解：设x(t)为平稳过程，和为线性时不变系统，有。
3.5 功率谱密度为的白噪声作用到的低通网络，它的等效噪声带宽为2mhz。若在1欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1w，是多少？
解：设为等效噪声带宽，低通系统输出的平均功率为。
随机信号课后习题答案
第一次作业 练习一之 题。1.1 离散随机变量x由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1 2，1 4，1 8，和1 8。求随机变量的数学期望和方差。解 1.2 设连续随机变量x的概率分布函数为。求 1 系数a 2 x取值在 0.5，1 内的概率。解 由 得...
随机信号课后习题答案
2.2 若随机过程x t 在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。证 由均方连续的定义，展开左式为 固有，证得数学期望连续。2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是 自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数。证 在时存在，也就是存在。2.4 判断随机过程是否平稳？其中为常数，a 分别为均...
随机信号答案
1.1已知高斯随机变量x的概率密度，求它的数学期望和方差。解 根据数学期望与方差定义 令，代入上式并整理。与前面以一样同样变换，即令，整理后。查数学手册的积分表，可得 令及，利用上式的积分结果，可得。可见高斯变量的概率密度分布由它的数学期望和方差唯一决定。1.2随即变量，其中为随机变量，为常数且 0...