1. 判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，求出它的基频和公共周期。
解：因此，公共周期，基频。
因此，公共周期。
基频。3) 由于两个分量的频率比值是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期的。
4) 两个分量是同频率的，基频1/ hz。因此，公共周期s。
2.指出并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能量信号。
解： 1) 波形如题2解图(a)所示。显然是功率信号。
w(2) 波形如题2解图(b)所示。显然是能量信号。
(3) 能量信号 j
(4) 功率信号，显然有 w
3. 周期信号如题图3所示，试计算信号的功率。
题3图。解： 周期t=7 ，一个周期的能量为
信号的功率为w
4. 画出下列信号的波形。
解：的波形分别如题4解图（a）、(b)、(c)所示。
题4解图。5. 完成下列信号的计算。
解：6. 求下列积分。
解：(2) (因不在积分范围（-3，6）内)
7.画出题图7中的信号的一阶导数波形。
题7图。解：
的波形分别如题7解图（a）、(b)、(c)所示。
题7解图。8.对于题8图中的信号，为以下各式作图。
(5)（偶分量）
6)（奇分量）
题8图。解： 各波形如题8解图所示。
题8解图。9.周期信号如题9图所示，试计算信号的功率。
题9图。解：
周期t=7 ，其能量为。
信号的功率为w
10.用基本信号或阶跃信号表示题10图中的信号，并求出它们的能量。
解：(a)，可以看成三个矩形。
能量为jb)，可以看成一个矩形和一个三角形相加。
能量为jc)，可以看成一个矩形和两个三角形相加。
能量为j11. 画出下列信号的波形。
解：各信号的波形如题11解图所示。
题11解图。
12.求下列积分。
解： a);
b) c)
d) 13. 画出下列各信号的波形。
解：各波形如题13解图所示。
题13解图。
14. 对于题14图中的信号，为以下各式作图。
(a)；(b)；
(c)；(d)；
(e)（偶分量）；
(f)（奇分量）。
解： 各波形如题14解图所示。
题14解图。
15.求下列函数的卷积积分。
现求解如下：
解：解：解：
解：解：16.已知。
求。现求解如下：
1）,求。解：
把求导2次。
2），求。解：
左式：右式：
所以。把代入上式，得。
17．已知下列的值，求。
现求解如下：
解：解：18．已知，求。解：当时。
当时。上二式在成立，故得。
当时。19．已知，求。
解：这里用到性质：
1. 前四个勒让德(legendre)多项式。
证明它们在区间(-1，1)内是正交函数集。
解：在区间(-1，1)内，有。
在(-1，1)区间内满足( )它们在区间(-1，1)内是正交函数集。
2 . 证明，是在区间的正交函数集。它是否是完备的正交函数集？
证明：在区间内，有。
(n为正整数)}是在区间的正交函数集。但不是完备的。因为：在正交函数集之外，存在函数满足：
对于所有的和。
3. 题3图给出冲激序列。求的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
题3图。解：，因为偶函数。
上述。4. (1) 直接用定义求题4图所示三角波的三角傅里叶级数。
2) 利用3题的结果求题2.4图所示三角波的三角傅里叶级数。
题4图。解：
1）利用直接法求解：
因为信号为去直为奇函数，所以；
上述。2）利用3题的结果求解：令。则。
所以。5. 已知周期信号的前周期波形如题5图所示。根据下列各种情况的要求，画出在一个周期的波形。
1)是偶函数，只含有偶次谐波；
2)是偶函数，只含有奇次谐波；
3)是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波；
4)是奇函数，只含有偶次谐波；
5)是奇函数，只含有奇次谐波。
6)是奇函数，含有偶次谐波和奇次谐波。
题5图。解：
1）是偶函数，只含有偶次谐波 2）是偶函数，只含有奇次谐波。
题5图（a题5图（b）
3）是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波。
题5图（c题5图（d）
4）是奇函数，只含有偶次谐波 5）是奇函数，只含有奇次谐波。
题5图（e题5图（f）
6. 周期信号的双边频谱如题6图所示，求其三角函数表示式。
题6图。解：
根据，求得。
7. 已知周期矩形信号及如题7图所示。求：
1)的参数为，，，则谱线间隔和带宽为多少？
2)的参数为，，，则谱线间隔和带宽为多少？
3)与的基波幅度之比为多少？
4)基波幅度与的三次谐波幅度之比为多少？
题7图。解：
1） 谱线间隔为或。
带宽为或。2） 同理可求：谱线间隔为或。带宽为或。
8. 求题8图所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
题8图。解：
9. 计算下列信号的傅里叶变换。
解：5）因为。10. 试分别利用下列几种方法证明。
1) 利用符号函数；
2) 利用矩形脉冲取极限；
3) 利用积分定理；
4) 利用单边指数函数取极限。
解：1）略。
3）略。
11. 若的傅里叶变换为，如题11图所示，求并画图。
题11图。解：
题11解图。
12. 已知信号，的波形如题12图（a）所示，若有信号的波形如题12图（b）所示。求。
题12图(a题12图(b)
解：13. 若已知，确定下列信号的傅里叶变换：
解：14. 已知三角脉冲的傅里叶变换为，试用有关定理求的傅里叶变换。解：
15. 若已知，确定下列信号的傅里叶变换。
解：16. 分别利用线性性质、时域积分性质和时域卷积定理求题16图所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出情况下该脉冲的频谱图。
题16图。解：
1）利用线性性质。
2）利用时域积分性质。
令则。如题16解图（a）所示。
3）当时，图形如题16解图（b）所示。
题16解图（a）
题16解图（b）
17. 已知阶跃信号的傅里叶变换为；正弦、余弦函数的傅里叶变换为；。求单边正弦和单边余弦的傅里叶变换。
解：同理可求：
18. 求的傅里叶反变换。解：
另一种解法：
19. 求信号的傅氏变换。
解：信号周期为：，则，题19图。
20. 信号，若对其进行冲激采样，求使频谱不发生混叠的最低采样频率。
解：令，则。
所以。21. 有限频带信号的最高频率为100hz，若对下列信号进行时域采样，求得最小采样频率。
解：设： 1)，频域信号扩展，频带增大，，
2) ，频域信号扩展，频带增大为的两倍，
3) ，的，的，故有的，4)，频带增大为的两倍，确，
1求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。
解：收敛域为。
收敛域为。收敛域为。
收敛域为。收敛域为。
2利用拉普拉斯变换性质，求下列信号的拉普拉斯变换。
解： 1) 因为
利用复频域微分性质，有。即。
4)因为 根据拉普拉斯变换时域频移性质，有。
3求下列函数的拉普拉斯反变换。解：
根据时延性质。
2）将整理成周期形式。
又 则是第一周期单个函数为、周期的周期函数，所以。
3）因为。由卷积定理知
其中。所以。
4用部分分式法求下列函数的拉普拉斯反变换。
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