7.22 信号由两个均为带限的信号和卷积而成，即
其中。现对作冲激串采样，以得到。
请给出保证能从中恢复出来的采样周期t的范围。
解：根据傅立叶变换性质，可得。
因此，有。当时，
即的最高频率为，所以的奈奎施特率为，因此最大采样周期，所以当时能保证从中恢复出来。
7.27（p407）如图7.27（a）一采样系统，是实信号，且其频谱函数为，如图7.27（b）。频率选为，低通滤波器的截至频率为。
1. 画出输出的频谱；
2. 确定最大采样周期，以使得可以从恢复；
图7.27（a）
图7.27(b)
解：1、经复指数调制后的，其傅立叶变换为
如图（a）所示。
图（a图（b）
经低通滤波器的输出的频谱如图（b）所示。
2、由图（b）可见，的带宽为，所以最大采样周期为。
8.3(p452)设是一实值信号，并有，，现进行幅度调制以产生信号，图4-1给出一种解调方法，其中是输入，是输出，理想低通滤波器截止频率为，通带增益为2，试确定。
图4-1解：
对进行傅立叶变换。
因为。很明显，，所以通过截止频率为的理想低通滤波器后的输出。
9.28（p525）考虑一lti系统，其系统函数的零极点图如图9.28所示。
1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域roc。
2.对于1中所标定的每个roc，给出有关的系统是否是稳定和/或因果的。
图9.28解：1. 可能的收敛域roc为：
2. （1），不稳定和反因果的。
（2），不稳定和非因果的。
3），稳定和非因果的。
4），不稳定和因果的。
9.31（p525）有一连续时间lti系统，其输入和输出由下列微分方程所关联：
设和分别是和的拉普拉斯变换，是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换。
1. 求，画出的零极点图。
2. 对下列每一种情况求：
1）系统是稳定的。（2）系统是因果的。（3）系统既不稳定又不是因果的。
解：1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换，得
所以得。其零—极点图如图（a）所示图（a）
1）当系统是稳定时，其收敛域为，所以有。
2）当系统是稳定时，其收敛域为，所以有。
3）当系统是非因果的和不稳定的时，其收敛域为，所以有。
10.28（p581）已知序列。
a.求该序列的变换。
b.画出零极点图。
c.利用考虑极点向量和零点向量沿单位圆横穿一周时的特性，近似画出傅里叶变换的模特性。
解：a、的变换为。
b、由可知，在处有一6阶极点，其零点为。
其零—极点图如图（a）所示
图（a）c、傅氏变换的幅值近似图如图（b）所示。
图（b）10.34（p583）有一个因果lti系统，其差分方程为。
1.求该系统的系统函数，画出的零极点图，指出收敛域。
2.求系统的单位脉冲响应。
3.判断该系统是不是稳定的？如果是不稳定的，试求一个满足该差分方程的稳定（非因果）单位脉冲响应。
解：、对所给的差分方程两边进行z变换，得。
所以得 ，
其中。系统函数的零点为，极点为和。
系统的零极点图如图（a）所示。
图（a2、因为。
所以。3、系统是不稳定的，因为系统的收敛域为，不包括单位圆。若要使系统稳定，则收敛域应包括单位圆，即收敛域为。
此时有。10.59（p589）一个数字滤波器的结构如图10.59所示。
图10.59
a.求这个因果滤波器的，画出零极点图，并指出收敛域。
b.当为何值时，该系统是稳定的。
c.如果且对所有的，，确定。
解：a.由图（1）得。
图（1）所以 而。得。
其零极点图和收敛域示意图如图（2）所示。
ab） 图（2）
b．只有时，收敛域才包含单位圆，系统才能是稳定的。
c. 由于是lti系统的特征函数，所以输出。
时，代入得。
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