第八章习题。
8.1 图示一反馈系统，写出其状态方程和输出方程。
解由图写出频域中输入、输出函数间的关系。
把此式加以整理可得。
故系统的转移函数为。
根据转移函数，可以用相变量直接写出状态方程和输出方程分别为。
8.2 写出下图所示三回路二阶系统的状态方程。
解： 第一步，选取状态变量。由于两个储能元件都是独立的，所以选电感电流为状态变量，电容电压为另一状态变量，如图所示。
第二步，分别写包含有电感电压的回路电压方程和包含有电容电流的节点电流方程。根据第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有。
第三步，上两式中和不是状态变量，要把它们表为状态变量。由第一个回路有。
即 由第三个回路有。
即 把和分别代入第二步中两式，并经整理，最后得所求状态方程为。
或记成矩阵形式。
8.3 图示一小信号谐振放大器的等效电路，这里的激励函数是一压控电流源，输出电压由耦合电路的电阻上取得。要求写出此电路的状态方程和输出方程。
解：第一步，选状态变量。因为电感电流和电容电压等三个变量都是独立的，所以选回路电感中的电流、回路电容上的电压、耦合电容上的电压为状态变量。
第二步，分别写回路方程或节点方程。由rlc回路有。
第三步，消去非状态变量。上面三式中只有和两个非状态变量，这二量可以直接由图看出为。
把这二量代入第二步所得三式中，并经整理，最后可得状态方程。
这三个方程虽然只含有激励和状态变量，但是其中的第二个方程中同时含有两个状态变量的导数，不符合状态方程的要求，必须消去一个。将第三个等式代入第二式中，消去其中的，可以得到：
由此可以得到系统的状态方程。我们同样可以将它记为矩阵形式。
输出方程可以很简单地从电路图中观察出：
8.4 图示一滤波电路，写出它的状态方程。
解：第一步，确定状态变量。这个电路中有一个仅由三个电容组成的回路，只有两个独立电容电压，所以可从三个电容电压中任取其二作为状态变量。
现在令电感电流、电容上的电压和电容上的电压为状态变量。
第二步，写出回路的回路方程和节点p、q的二节点方程，可得。
第三步，消去非状态变量。上面的等式中根据第一个直接可以得到关于的状态方程，而后两式中有、、为非状态变量，将它们表为状态变量，可有。
把这些关系代入第二步所得的后二式中并整理，得。
通过消元计算，不难得到：
其中。这两个等式连同关于和的状态方程。
构成了系统完整的状态方程。
8.5 设一系统的状态方程和输出方程为。
系统的初始状态为，，输入激励为一单位阶跃函数。
1) 试求此系统的输出响应。
2) 求出此系统的传输函数、状态转移矩阵和状态转移方程。
解：将系统的状态方程和输出方程都写成矩阵形式。
由此二矩阵方程可知，除为零外，其余、、矩阵分别为。
系统的初始状态为。
首先求解系统的响应。先求矩阵。
通过初等变换法，可以得到。
由式中的第二项求系统响应的零状态分量变换式。
将以上零输入和零状态两分量进行反变换后相加，即得系统的全响应，即。
由此得到全响应。
可以得到系统传输矩阵为：
因为这个系统是单输入—输出系统，所以转移函数矩阵中只有一个元素。可以得到该系统的状态过渡矩阵为。
把上面解得的矩阵的每一元素取反变换，得到。
而状态转移方程为。
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